Python 概率论：概率、数学期望、方差
一、基础概念速览
- 概率：事件发生可能性 P∈[0,1]
- 期望 E (X)：随机变量平均值 E(X)=∑xipi（离散）、∫xf(x)dx（连续）
- 方差 D (X)/Var (X)：数据离散程度 Var(X)=E[(X−E(X))2]=E(X2)−[E(X)]2 标准差：σ=Var(X)
二、离散型随机变量（举例：掷骰子、二项分布）
1. 手动计算：已知取值 + 概率
骰子：X={1,2,3,4,5,6}，每个p=61
import numpy as np # 取值、对应概率 x = np.array([1,2,3,4,5,6]) p = np.array([1/6]*6) # 1.期望 E(X)=Σx*p E = np.sum(x * p) # 2.E(X²) E2 = np.sum(x**2 * p) # 3.方差 Var = E2 - E**2 # 4.标准差 std = np.sqrt(Var) print("期望E:",E) print("方差Var:",Var) print("标准差σ:",std)2. 二项分布 B(n,p)：n 次独立试验，单次成功率 p
X∼B(n,p),E=np, Var=np(1−p)
from scipy.stats import binom n = 10; p = 0.3 # 理论期望、方差 E_bin = binom.mean(n,p) Var_bin = binom.var(n,p) print("二项期望",E_bin,"方差",Var_bin) # 生成随机样本，用样本估算期望方差 sample = binom.rvs(n,p,size=10000) print("样本均值",sample.mean(),"样本方差",sample.var(ddof=0))三、连续型随机变量（正态分布最常用 N(μ,σ2)）
正态：E=μ, Var=σ2
from scipy.stats import norm mu = 5; sigma = 2 # 理论值 E_norm = norm.mean(loc=mu,scale=sigma) Var_norm = norm.var(loc=mu,scale=sigma) print("正态期望",E_norm,"方差",Var_norm) # 概率计算：P(3<X<7) P = norm.cdf(7,mu,sigma) - norm.cdf(3,mu,sigma) print("P(3<X<7)=",P) # 抽样验证 s = norm.rvs(mu,sigma,size=20000) print("抽样均值",s.mean(),"抽样方差",s.var())四、样本统计：用实测数据算均值 (样本期望)、样本方差
ddof=0：总体方差；ddof=1：无偏样本方差（统计学常用）
data = np.array([2,4,6,8,10]) mean_ = data.mean() # 样本均值≈期望 var_all = data.var(ddof=0) # 总体方差 var_sample = data.var(ddof=1)# 样本无偏方差 print(mean_,var_all,var_sample)五、常用公式代码对照表
| 公式 | 代码 |
|---|---|
| 离散期望 E=∑xp | np.sum(x*p) |
| 方差 E(X2)−E2 | np.sum(x**2*p)-E**2 |
| 样本均值 | arr.mean() |
| 总体方差 | arr.var(ddof=0) |
| 无偏样本方差 | arr.var(ddof=1) |
| 标准差 | arr.std() |
六、拓展：均匀分布、泊松分布
from scipy.stats import uniform,poisson # 均匀U(a,b) uni=uniform(loc=2,scale=3) # [2,5] print("均匀期望",uni.mean(),"方差",uni.var()) # 泊松P(λ),E=Var=λ poi=poisson(mu=4) print("泊松期望",poi.mean(),"方差",poi.var())