一般曲线运动

在牛顿力学中，会涉及像平抛，斜抛，圆周等曲线运动，所以需要一个一般的结论。

以下推导中，用er⃗\vec{e_r}er​​表示法向单位向量，指示半径方向，长度为111，同理用eθ⃗\vec{e_\theta}eθ​​表示切向单位向量，指示切线方向，长度为111

速度是切向的，则速度的向量可以认为是半径的长度乘上单位向量：v⃗=veθ⃗\vec{v} = v\vec{e_\theta}v=veθ​​

可以知道，加速度速度是速度的导数，那么有：a⃗=dv⃗dt=ddt(veθ⃗)\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d}{dt}(v\vec{e_\theta})a=dtdv​=dtd​(veθ​​)

由求导的乘法法则，a⃗=eθ⃗dvdt+vdeθ⃗dt\vec{a} = \vec{e_\theta} \frac{dv}{dt}+v\frac{d\vec{e_\theta}}{dt}a=eθ​​dtdv​+vdtdeθ​​​

从式子中可以看出，eθ⃗\vec{e_\theta}eθ​​指示切向方向，则切向加速度为aθ⃗=eθ⃗dvdt\vec{a_\theta} = \vec{e_\theta} \frac{dv}{dt}aθ​​=eθ​​dtdv​

由下图：
在图上可以看出，当转过角度dθd\thetadθ足够小，deθ⃗d\vec{e_\theta}deθ​​逐渐接近对应弧长，方向指向圆心，则用弧长公式可以算出deθ⃗=∣eθ⃗∣⋅er⃗dθ=er⃗dθd\vec{e_\theta} = |\vec{e_\theta}| \cdot \vec{e_r} d\theta = \vec{e_r}d\thetadeθ​​=∣eθ​​∣⋅er​​dθ=er​​dθ

所以deθ⃗dt=er⃗dθdt=er⃗dθdt\frac{d\vec{e_\theta}}{dt} = \frac{\vec{e_r}d\theta}{dt} = \vec{e_r}\frac{d\theta}{dt}dtdeθ​​​=dter​​dθ​=er​​dtdθ​

带入上式：vdeθ⃗dt=ver⃗dθdt=ver⃗dθds⋅dsdt=v2er⃗dθdsv\frac{d\vec{e_\theta}}{dt} = v\vec{e_r}\frac{d\theta}{dt} = v\vec{e_r}\frac{d\theta}{ds} \cdot \frac{ds}{dt} = v^2 \vec{e_r}\frac{d\theta}{ds}vdtdeθ​​​=ver​​dtdθ​=ver​​dsdθ​⋅dtds​=v2er​​dsdθ​

由弧长公式，可知dsdθ=ρ\frac{ds}{d\theta} = \rhodθds​=ρ其中ρ\rhoρ是曲率半径，即这一小段弧所对的半径，则dθds=1ρ\frac{d\theta}{ds} = \frac{1}{\rho}dsdθ​=ρ1​

代入得到ar⃗=v2ρer⃗\vec{a_r} = \frac{v^2}{\rho}\vec{e_r}ar​​=ρv2​er​​

整合得到

{aθ⃗=eθ⃗dvdtar⃗=v2ρer⃗ \begin{cases} \vec{a_\theta} = \vec{e_\theta} \frac{dv}{dt} \\ \vec{a_r} = \frac{v^2}{\rho}\vec{e_r} \end{cases}{aθ​​=eθ​​dtdv​ar​​=ρv2​er​​​

由牛顿第二定律，F=maF = maF=ma，则

{Fθ=mdvdtFr=mv2ρ \begin{cases} F_\theta = m\frac{dv}{dt} \\ F_r = m\frac{v^2}{\rho} \end{cases}{Fθ​=mdtdv​Fr​=mρv2​​

对于圆周，ρ=r\rho = rρ=r，则上式变成:
{Fθ=mdvdtFr=mv2r \begin{cases} F_\theta = m\frac{dv}{dt} \\ F_r = m\frac{v^2}{r} \end{cases}{Fθ​=mdtdv​Fr​=mrv2​​

这与直接推导圆周轨道的结论是一致的