线性代数（五）向量空间与子空间

根据课程内容，先补充一下置换矩阵和对称矩阵的概念。

置换矩阵是用来交换矩阵行数或列数的单位矩阵，对于N阶单位矩阵，其具有N!个不同的置换矩阵。用排列组合的知识可以很容易证明：对于N阶单位阵，第一行可以有个位置可供交换，对于第二行可以有个位置可供交换……以此类推，将每个行向量可供选择的位置相乘，可以得到一共有N!种不同的置换矩阵。

置换矩阵都是由单位矩阵变换而来，显然所有的置换矩阵都是可逆的。

置换矩阵的逆矩阵就是其转置矩阵（可以通过数学严格证明，此处不给出）

对称矩阵：元素关于主对角线对称的矩阵是对称矩阵。

矩阵乘该矩阵的对称矩阵，得到的一定是一个对称矩阵。

接下来介绍向量空间（我们这里只讨论实数向量以及向量加法、标量乘法定义的向量空间）。

向量空间是向量线性组合而成的，所谓线性组合即数乘和向量加法运算。向量空间必须对其内所有的向量满足数乘和向量加法运算封闭。

向量空间，这是一个二维向量空间，其内部的所有向量都是二维的；对于这个空间内部的向量，必须满足这些向量的所有线性组合全部位于内。

向量空间，这是一个三维向量空间，其内部的所有向量都是三维的；同样的，对于这个空间内部的向量，必须满足这些向量的所有线性组合全部位于内。

向量空间中的某些部分可以构成向量子空间，子空间必须满足同样的要求。

同样以空间为例，空间为整个平面，显然其内部向量的所有线性组合都位于该平面之上；现在取该平面的一部分，第一象限（不包含原点），那么第一象限是否可以构成子空间呢？

第一象限中的所有坐标都是正坐标，对应的所有向量都是正向量，这些向量相互做加法得到的向量显然还是位于第一象限，所以第一象限是满足对向量加法封闭的；但是如果用0乘一个第一象限中的向量，得到的将是0向量，即原点，而我们已经定义原点不在第一象限上，所以第一象限不满足对于向量数乘封闭。所以，第一象限无法构成空间的子空间。

换个例子，如直线y=x。这条直线是否可以构成子空间呢？显而易见，y=x上的所有点对应的向量满足对向量加法和数乘封闭，所以这条直线是可以构成子空间的。

通过空间的例子，我们已经可以总结出其子空间的情况：

1.本身（自己构成自己的子空间）

2.过原点的直线（直线上的向量满足对数乘、向量加法封闭）

3.原点（只有一个向量，（0,0））

推广到三维空间，该空间内的子空间有哪些？

1.本身，显而易见

2.过原点的平面（平面上的向量满足对数乘、向量加法封闭）

3.原点（只有一个向量，（0,0））

接下来介绍如何通过矩阵得到向量空间。

给定矩阵，从列的角度看，有，，这两个向量不共线，那么显然它们的所有线性组合可以组成一个平面，那么这个平面就可以构成一个子空间。该空间成为由矩阵的列向量张成的列空间；而如果这两个向量共线，显然其只能张成一条直线，那么这时该直线构成一个子空间。

这里指出，如果向量属于向量空间，这些向量张成的子空间必然也属于（从几何的角度讲显而易见，子空间实际上取对空间进行降维后的部分）。