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20251213 - 最小生成树

news 2026/5/25 9:26:04

生成树

生成树，就是在一个无向连通图中选择 \(n - 1\) 条边，使得这 \(n-1\) 条边构成了一棵树。

最小生成树

假设每一条边有边权，边权和最小的生成树就是最小生成树（MST）。

求法

1. Prim

这是一个点核心的算法。

每次选择点权最小的点，在扩展到邻居节点，这和 dijkstra 几乎一毛一样。

朴素时间复杂度：\(O(n^2+m)\)。

堆优化：\(O((n+m)\log_2m)\)

平衡树优化（实测更快一点）：\(O((n+m)log_2m)\)

代码：

int Prim() {int ans = 0;priority_queue <Node> q;vector <int> dist(n + 1, inf), vis(n + 1, 0);dist[s] = 0;q.push({s, 0});while (!q.empty()) {int u = q.top().v, w = q.top().w;q.pop();if (vis[u]) continue;vis[u] = 1;ans += w;for (auto nxt : edges[u]) {int v = nxt.v, w = nxt.w;if (w < dist[v]) {dist[v] = w;q.push({v, dist[v]});}} }return ans;
}

2.kruskal

这是一个边核心的算法。

每次选择边权最小的边，在判断有没有环。

怎么判断有没有环呢？

~~Tarjan~~ DSU！

代码：

int kruskal() {vector <TreeNode> edges;n = read(), m = read();for (int i = 1; i <= n; i++) fa[i] = i;for (int i = 1; i <= m; i++) {int x = read(), y = read(), w = read();edges.push_back({x, y, w});}sort(edges.begin(), edges.end());int ans = 0, tot = 0;;for (auto [x, y, w] : edges) { // C++17x = find(x), y = find(y);if (x != y) {fa[x] = y;ans += w;tot++;}} 
}

例题：

C - 营救

跑一下 kruskal，如果 find(s) == find(t) 直接输出即可。

#include <bits/stdc++.h>using namespace std;
#define ll long long
#define ull unsigned long long
#define db double
#define sz(x) ((int)x.size())
#define inf (1 << 30)
#define pb push_back
typedef pair<int, int> PII;
const int N = 1e5 + 7;
const int P = 998244353;
int read() {int x = 0, f = 1;char ch = getchar();while (!(ch >= '0' && ch <= '9')) {if (ch == '-') f = -f;ch = getchar();}while (ch >= '0' && ch <= '9') {x = x * 10 + ch - '0';ch = getchar();}return x * f;
}
int n, m, fa[N], s, t;
struct TreeNode {int x, y, w;bool operator < (const TreeNode &A) const {return w < A.w;}
};
vector <TreeNode> edges;
int find(int x) {return fa[x] == x ? x : fa[x] = find(fa[x]);
}
int main() {n = read(), m = read(), s = read(), t = read();for (int i = 1; i <= n; i++) fa[i] = i;for (int i = 1; i <= m; i++) {int x = read(), y = read(), w = read();edges.push_back({x, y, w});}sort(edges.begin(), edges.end());int ans = inf, tot = 0;;for (auto [x, y, w] : edges) {x = find(x), y = find(y);if (x != y) {fa[x] = y;tot++;if (find(s) == find(t)) {ans = min(ans, w);}}} printf("%d\n", ans);return 0;
}