Week11 Homework2

Week11 Homework2

• 习题 5.1.1(1)

\(\frac{\sin x}{x}\) 在 \((0,1]\) 上是连续函数，且有

\(\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1\)

由于 \(f(0)=1\)

故函数 \(f(x)\) 在 \([0,1]\) 上连续

故 \(f(x)\) 在 \([0,1]\) 上可积

• 习题 5.1.1(2)

\(\forall x_0\in\mathbb R_+,\exist x<x_0,\sin\frac{1}{x}=1\)

因此有

\(\forall M>0,\exist x<\frac{1}{M},\frac{1}{x}\sin\frac{1}{x}>M\)

因此 \(f(x)\) 在 \([0,1]\) 上无上界

故 \(f(x)\) 在 \([0,1]\) 上不可积

• 习题 5.1.1(3)

\(f(x)\in[0,1](x\in[0,1])\)

\(f(x)\) 有无穷个间断点，其集合为\(\{1,\frac{1}{2},\cdots,\frac{1}{n}\}\)

显然是可数多个间断点，故 \(f(x)\) 在 \([0,1]\) 上可积

• 习题 5.1.3

\[f(x)=1(x\in\mathbb Q) \]

\[f(x)=-1(x\in C_\mathbb R\mathbb Q) \]

显然 \(|f(x)|=1\) 可积

而 \(f(x)\) 与 Dirichlet 函数 同理不可积

• 习题 5.1.4(2)

设 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上的上界是 \(c\)，且 \(f(x_0)=c\)

根据连续性得

\[\forall\varepsilon>0,\exist\delta=\delta(\varepsilon),\forall|x-x_0|<\delta,|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon \]

不妨令 \(\varepsilon=\frac{c}{2}\)

则 \(\int_{x_0-\delta(\frac{c}{2})}^{x_0+\delta(\frac{c}{2})}f(x)\ge c\delta(\frac{c}{2})\)

\[\int_a^bf(x)>c\delta(\frac{c}{2})>0 \]

• 习题 5.1.4(3)

\[f(x)=0(x\ne1) \]

\[f(x)=1(x=1) \]

则 \(f(x)\) 在 \([0,1]\) 上可积且非负不恒为零，但积分等于 0

• 习题 5.1.5

由积分中值定理得

\[\int_a^bf(x)dx=f(\xi)(b-a),\xi\in(a,b) \]

因此即证

\[(b-a)f(a)\le(b-a)f(\xi)\le(b-a)f(b) \]

\[f(a)\le f(\xi)\le f(b) \]

由于 \(f(x)\) 单增，故显然成立

若 \(f(x)\) 单减，则

\[(b-a)f(a)\ge\int_a^bf(x)dx\ge(b-a)f(b) \]

• 习题 5.1.6(1)

\[(a\cos x-b\sin x)^2\ge0 \]

\[a^2(1-\sin^2x)+b^2(1-\cos^2x)\ge2ab\sin x\cos x \]

\[a^2+b^2\ge a^2\sin^2x+2ab\sin x\cos x+b^2\cos^2x \]

\[|a\sin x+b\cos x|\le\sqrt{a^2+b^2} \]

\[\int_0^{2\pi}|a\sin x+b\cos x|dx\le2\pi\sqrt{a^2+b^2} \]

• 习题 5.1.6(2)

设 \(f(x)=x^m(1-x)^n\)

\[\frac{dy}{dx}=x^{m-1}(1-x)^n(m-mx-nx) \]

令 \(\frac{dy}{dx}=0\) 得 \(x=\frac{m}{m+n}\)

故 \(f(x)\le\frac{m^mn^n}{(m+n)^{m+n}}\)

\[\int_0^1f(x)dx\le\frac{m^mn^n}{(m+n)^{m+n}} \]

• 习题 5.1.7(1)

不妨设 \(f(a)=M\)

若 \(f(b)\ne m=f(x_1)\)，则由微分中值定理得 \(\xi\)，且 \(\exist x_0\in(a,x_1),f(x_0)=f(\xi)\)

若 \(f(b)=m\)，则显然 \(\xi\in(a,b)\) 或 \(f(x)\) 为常函数，则依然可以取在 \((a,b)\)

• 习题 5.1.7(2)

\[f(x)=x(x\ne0) \]

\[f(x)=1(x=0) \]

则 \(f(x)\) 在 \([-1,1]\) 上不满足中值定理

• 习题 5.1.8

由积分中值定理得

\[\int_a^bf(x)dx=f(\xi)(b-a),\xi\in(a,b) \]

\[f(\xi)(b-a)=0 \]

因为 \(b-a\ne0\)

故 \(f(\xi)=0\)

故 \(f(x)\) 在 \((a,b)\) 上有至少一个零点

• 习题 5.1.9(1)

设 \(f(x)\) 最小值为 \(m\)，最大值为 \(M\)

\[m\int_a^bg(x)dx\le\int_a^bf(x)g(x)dx\le M\int_a^bg(x)dx \]

根据介值定理，必定 \(\exist\xi\in(a,b)\)

\[\int_a^bf(x)g(x)dx=f(\xi)\int_a^bg(x)dx \]

• 习题 5.1.9(2)

令 \(f(x)=g(x)=x\) 得

\[\int_a^bx^2dx=\xi\int_a^bxdx \]

不妨令 \(a+b=0\) 得

\[\int_a^bx^2dx=\xi\times0 \]

显然矛盾