思路
肯定是在值域上处理, 类似今年 S T4 的将与未扫描部分相关的部分单独统计
定义 \(c_x\) 为 \(a_i = x\) 的数量
考虑 \(f_{i, j, k}\) 表示考虑到数字 \(i\), 当前要求容量到 \(j\), 当前容量为 \(k\) 的方案数
\[ \begin{gather*}
c_i \times f_{i, j, k} \to f_{i + 1, j, k + c_i} \\
f_{i, j, k} \to f_{i + 1, \max(j, c_i), k}
\end{gather*} \]
不难发现这个东西复杂度好像不怎么是 \(O(n^3)\) 的
发现 \(j \leq \sqrt{n}\), 因为 \(j\) 只能取出现过的 \(c_i\)
发现 \(i \leq 2\sqrt{n}\), 因为 \(< \sqrt{n}\) 的只有 \(\sqrt{n}\) 种, \(> \sqrt{n}\) 的最多出现 \(\sqrt{n}\) 次
所以复杂度是 \(\mathcal{O} (n^2)\)
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define debug(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)const int MOD = 998244353;int main() {// ios::sync_with_stdio(false);// cin.tie(nullptr);int t;cin >> t;while (t--) {int n;cin >> n;vector<int> a(n);for (int i = 0; i < n; i++) {cin >> a[i];}vector<int> cnt(n + 1, 0);for (int x : a) {cnt[x]++;}// 统计不同的出现次数并排序vector<int> values, freq;for (int i = 1; i <= n; i++) {if (cnt[i] > 0) {values.push_back(i);}}sort(values.begin(), values.end());values.erase(unique(values.begin(), values.end()), values.end());// 统计每种出现次数的频率// vector<int> freq(n + 1, 0);for (int i = 1; i <= n; i++) {if (cnt[i] > 0) {freq.push_back(cnt[i]);}}sort(freq.begin(), freq.end());freq.erase(unique(freq.begin(), freq.end()), freq.end());int m = values.size();int mm = freq.size();// dp[j_idx][k] - j_idx 是 values 中的索引，k 是当前容量vector<vector<int>> dp(mm + 1, vector<int>(n + 1, 0));// 初始状态：没有数字，要求容量为0，实际容量为0dp[0][0] = 1;int bababoy = 0;for (int val : values) {bababoy++;vector<vector<int>> new_dp(mm + 1, vector<int>(n + 1, 0));for (int j_idx = 0; j_idx <= mm; j_idx++) {int current_j = (j_idx == 0) ? 0 : freq[j_idx - 1];for (int k = 0; k <= n; k++) {if (dp[j_idx][k] == 0) continue;// 转移1: 将当前数字作为众数if (k + cnt[val] <= n) {new_dp[j_idx][k + cnt[val]] = (new_dp[j_idx][k + cnt[val]] + 1LL * dp[j_idx][k] * cnt[val]) % MOD;}// 转移2: 不将当前数字作为众数int new_j = max(current_j, cnt[val]);// 找到 new_j 在 freq 中的索引int new_j_idx = lower_bound(freq.begin(), freq.end(), new_j) - freq.begin() + 1;new_dp[new_j_idx][k] = (new_dp[new_j_idx][k] + dp[j_idx][k]) % MOD;}}dp = move(new_dp);// /*debug 所有有值的 dp 位置*/// for (int j_idx = 0; j_idx <= mm; j_idx++) {// int j_val = (j_idx == 0) ? 0 : values[j_idx - 1];// for (int k = 0; k <= n; k++) {// if (dp[j_idx][k] > 0) {// debug("dp[%d][%d][%d] = %d\n", bababoy, j_idx, k, dp[j_idx][k]);// }// }// }}// 统计所有满足 j <= k 的状态int ans = 0;for (int j_idx = 0; j_idx <= mm; j_idx++) {int j_val = (j_idx == 0) ? 0 : freq[j_idx - 1];for (int k = 0; k <= n; k++) {if (j_val <= k) {ans = (ans + dp[j_idx][k]) % MOD;}}}cout << ans << '\n';}return 0;
}
总结
dp 常用规模法理解
值域上处理和填一个坑的思想