钥匙
洛谷 P8339
钦定当有很多把钥匙能打开开宝箱时使用最后拿到的一把（应该要想想用第一把打开，实际不好做。）
每种颜色 \(col\) 的钥匙和宝箱是互相独立的，可以对每种颜色建出虚树。对于一把钥匙 \(u\)，以它为根进行搜索，记录一个值 \(c\)。碰到颜色为 \(col\) 的钥匙 c++，碰到颜色为 col 的宝箱 c--，当到达 \(v\) 时 \(c\) 第一次变成 \(0\) 就说明 \(u\) 打开 \(v\) 了（这也时为什么钦定最后一把打开 \(v\)，否则可能时 \(u\) 另一棵子树内的钥匙打开 \(v\)）。
因为每种颜色只有 \(5\) 把钥匙，总共只有 \(5n\) 对 \((u, v)\)。
现在问题就转化为了 \(s\) 到 \(e\) 的路径会经过多少对 \((u, v)\)，这和 HNOI2015 接水果 一样的。考虑 \((u, v)\) 会对哪些 \(s, e\) 做贡献，分讨一下 \(u, v\) 是否为祖孙关系，发现 \(s, e\) 的 dfs 序分别在 \(1/ 2\) 个区间内，转化为二维数点问题树状数组做即可。
时间复杂度：\(O((5n + m) \log (5n + m))\)，常数还是不小的，似乎要把 \((u, v)\) 拆成至多 \(4\) 个算，注意空间。
总的来说，这个题要想到钦定哪把钥匙来开当前的宝箱（无非两种，都试试吧），然后建出虚树求出 \((u, v)\)。就转化为了一个子问题，做过原题还是不难想到接下来怎么做的，就是把它拍到 dfs 序上然后二维数点。
虚树可以利用在这种若干个互不干扰的问题上，这种路径包含问题转化为二维数点也是一个经典套路吧。