Solution
1. 记号
记
\[I_i = \int^1_0\frac{x^i}{x^2 + 1}\,dx
\]
则易得
\[\begin{align*}
I_0 &= \frac{\pi}{4} \\
I_1 &= \frac{\ln 2}{2}
\end{align*}
\]
\(I_i\) 这个式子不好直接积分，我们想办法化成我们会的样子。
2. 拆出来
\[\begin{align*}
x^i &= x^{i - 2} \cdot x^2 \\
&= x^{i - 2}\cdot(x^2 + 1) - 1 \\
&= x^{i - 2}(x^2 + 1) - x^{i - 2}
\end{align*}
\]
3. 代回去
将这个式子带入上式，得
\[I_i = \int^1_0\frac{x^{i - 2}(x^2 + 1) - x^{i - 2}}{x^2 + 1}\,dx
\]
发现了什么？中间可以拆开。把这个式子拆成两个式子，得
\[\begin{align*}
I_i &= \int^1_0\frac{x^{i - 2}(x^2 + 1)}{x^2 + 1}\,dx - \int^1_0\frac{x^{i - 2}}{x^2 + 1}\,dx \\
&= \int^1_0x^{i - 2} - \int^1_0\frac{x^{i - 2}}{x^2 + 1} \\
\end{align*}
\]
您猜怎么着，咱这表一查，前边儿那个式子的公式就知道了（想必学过积分的同学们这个公式都滚瓜烂熟了）：
\[\int x^\alpha\,dx = \frac{x^{\alpha + 1}}{\alpha + 1} + C
\]
您还记得咱最开始 \(I_i\) 的定义嘛？原式减号后边儿这个式子 \(\displaystyle\int^1_0\frac{x^{i - 2}}{x^2 + 1}\) 不就是咱的 \(I_{i - 2}\) 嘛！
所以一切就简单了：
\[\begin{align*}
\int^1_0x^{i - 2} - \int^1_0\frac{x^{i - 2}}{x^2 + 1} &= \left.\frac{x^{i-1}}{i-1}\right|_{0}^{1} - I_{i - 2}\\
&= \frac{1}{i - 1} - I_{i - 2}
\end{align*}
\]
您瞅瞅，这递推式子不就出来了嘛！
别忘了咱现在这式子不是最终的答案，把这玩意儿算出来以后得乘上它对应的系数 \(a_i\)。
啥？您问这 C++ 里边儿 \(\displaystyle\frac \pi 4\) 和 \(\ln 2\) 咋算？这 cmath 头文件里边儿有俩函数，叫做 acos(x) 和 log(x)，这 acos(x) 就是 \(\arccos x\)，咱都知道 \(\arccos(-1) = \pi\)，所以这 C++ 里边儿您用 acos(-1)，它就是 \(\pi\) 了。这 log(x) 就更直接了，就是 \(\log_e x\)，即 \(\ln x\)。
Code
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;typedef long double ld;
typedef long long ll;
const ld PI = acosl(-1.0), ln2 = logl(2.0);ll n, a[(int)1e5 + 5];
ld f[(int)1e5 + 5], ans;
int main() {cin >> n;for (int i = 0; i <= n; ++i) cin >> a[i];f[0] = 0.25 * PI;f[1] = 0.5 * ln2;for (int i = 2; i <= n; ++i) {f[i] = (1.0 / (i - 1.0)) - f[i - 2];ans += f[i] * a[i];}ans += f[0] * a[0] + f[1] * a[1];printf("%.12Lf", ans); return 0;
}