矩阵基础

矩阵乘法

对 \(x\) 行 \(m\) 列矩阵 \(A\) 和 \(m\) 行 \(y\) 列矩阵 \(B\)，记 \(C=A\times B\)。

\[c_{i, j}=\sum_{k=1}^m a_{i,k}\times b_{k, j} \]

矩阵乘法满足

结合律 \((A\times B) \times C=A\times (B\times C)\)。
分配律 \(A\times(B+C)=A\times B + A\times C\)。

矩阵乘法一般不满足交换律。

矩阵乘法的看待视角与解线性方程组的联系

分块矩阵乘法

将相乘的原矩阵分块，保证分块矩阵可乘且分块矩阵对应元素可乘，则分块矩阵相乘得到的矩阵与原矩阵相乘相等。

特殊的分块方法

对于 \(A\times B=C\)。

记 \(A=[A_1,A_2,\cdots,A_n],C=[C_1,C_2,\cdots, C_n]\)。称为对矩阵的列分块。

考察

\[C_i=\sum_{j}A_jB_{j,i} \]

即 \(C_i\) 是 \(A\) 的线性组合。即 \(C\) 的每一列是 \(A\) 的列的线性组合。

同理，\(C\) 的每一行是 \(B\) 的行的线性组合。

即，矩阵 \(A\) 左乘矩阵 \(M\) 是对 \(A\) 进行行变换，右乘矩阵 \(M\) 是对 \(A\) 进行列变换。

高斯消元中我们需要的操作有

将一行加上另一行的 \(c(c \neq 0)\) 倍。
交换两行。
将一行系数乘以 \(c(c \neq 0)\)。

这样的操作叫做基本行变换。基本行变换显然可以用左乘矩阵的形式表达。这样的矩阵被称作初等矩阵 (Elementary Matrices)。

矩阵的 LU、LDU 分解

三角阵

对方阵 \(A(n\times n)\)

上三角阵：满足 \(a_{i, j}=0 (i>j)\)

下三角阵：满足 \(a_{i, j}=0 (i<j)\)

单位上（下）三角阵：\(a_{i, i}=1\) 的上（下）三角阵

性质：

上（下）三角阵乘以上（下）三角阵还是上（下）三角阵。

单位上（下）三角阵乘以单位上（下）三角阵还是上（下）三角阵。

高斯消元构造分解

当高斯消元过程不需要行交换，基本行变换对应的初等矩阵都是单位下三角矩阵。即

\[E_kE_{k-1}\cdots E_{1}A=U \]

\(U\) 为上三角阵。

则有

\[A=E_1^{-1}\cdots E_{k-1}^{-1}E_{k}^{-1}U \]

记

\[L=E_1^{-1}\cdots E_{k-1}^{-1}E_{k}^{-1} \]

有

\[A=LU \]

令 \(U=DU'\)，其中 \(D\) 为单位矩阵，\(U'\) 为单位上三角矩阵，则 \(A=LDU'\) 称为 \(A\) 的 LDU 分解。

矩阵的 LDU 分解唯一。

置换矩阵 (permutation matrix)

\(A(n\times n)\) 满足每行每列只有一个 \(1\)。

\(Ax\) 可以表示一个 \(x\) 的排列 \(P(x)\)。

观察到高斯消元的行交换过程可以全部预先完成，故通用的 LU 分解可以写成

\[PA=LU \]

特殊方程组的解法

分块对角矩阵

\[\begin{bmatrix} A_{11} & 0 \\ 0 & A_{22} \end{bmatrix}\times x = b \]

即

\[\begin{bmatrix} A_{11} & 0 \\ 0 & A_{22} \end{bmatrix}\times \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \end{bmatrix}\]

即

\[\begin{cases} A_{11}x_1=b_1 \\ A_{22}x_2=b_2 \end{cases} \]

待补充

逆与转置

方阵的逆矩阵 (Inverse Matrix)

对于矩阵 \(A\)，若 \(BA=I\)，称 \(B\) 为 \(A\) 的右逆。若 \(AC=I\)，称 \(C\) 为 \(A\) 的左逆。

\[BAC=(BA)C=IC=C \\ BAC=B(AC)=BI=B \]

故 \(B=C\)。

故若方阵存在逆，则既为左逆又为右逆，且该逆唯一。

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