Sol
不要忽略看上去没用的东西。
不要忽略看上去没用的东西。
不要忽略看上去没用的东西。
显然暴力 \(f_{i}=\sum_{j=1}^i[j*(i-j+1)\le i]f_{j-1}f_{i-j}\binom{i-1}{j-1}\)。
假设 \(j-1\le i-j\)，\(j-1>i-j\) 同理，此时 \(f_{j-1}=(j-1)!\)，那么 \(f_{i}=2\sum_{j=1}^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor}[j*(i-j+1)\le i]f_{i-j}\frac{(i-1)!}{(i-j)!}\)。
移项得到 \(\frac{f_i}{i!}=\frac{2}{i}\sum_{j=1}^{\left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor}[j*(i-j+1)\le i]\frac{f_{i-j}}{(i-j)!}\)，直接前缀和优化即可。
赛时忽略了 \(j-1\le i-j\) 时 \(f_{j-1}=(j-1)!\)，然后就没想到正解。