前言生活中对于事件的发生,可以概括为确定现象在一定条件下必然发生如日出随机现象在个别试验中其结果呈现出不确定性在大量重复试验中其结果又具有统计规律的现象称之为随机现象。随机现象的特点人们通过长期实践并深入研究之后发现这类现象在大量重复试验或观察下它的结果却呈现出某种统计规律性.概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门学科随机试验为了对随机现象的统计规律性进行研究就需要对随机现象进行重复观察我们把对随机现象的观察称为随机试验并简称为试验记为E.随机试验具有下列特点可重复性试验可以在相同的条件下重复进行可观察性试验结果可观察所有可能的结果是明确的随机性不确定性每次试验出现的结果事先不能准确预知.但可以肯定会出现所有可能结果中的一个.样本空间样本点随机试验中的每一个可能出现的试验结果称为这个试验的一个样本点记作样本空间全体样本点组成的集合称为这个随机试验的样本空间记为Ω 或 S \Omega或SΩ或S随机事件我们称试验E的样本空间的子集为E的随机事件简称事件在随机试验中可能出现也可能不出现而在大量重复试验中具有某种规律性一般用ABC…等大写字母表示事件设A为一个事件当且仅当试验中出现的样本点w∈A时称事件A在该次试验中发生.注要判断一个事件是否在一次试验中发生只有当该次试验有了结果以后才能知道.基本事件仅含一个样本点的随机事件称为基本事件必然事件样本空间本身也是的子集它包含的所有样本点在每次试验中必然发生称为必然事件即必然发生的事件.不可能事件空集也是的子集它不包含任何样本点在每次试验中都不可能发生称为不可能事件不可能发生的事件是不包含任何样本点的.事件间的关系包含/相等:A⊂B或AB。和事件或并事件A ∪ B积事件或交事件: A ∩ B事件的差: A−B互斥或互不相容: A∩Bϕ对立事件或互逆事件: A∪BS and A∩Bϕ事件的运算规律概率与频率频率定义:在相同条件下重复进行了n次试验如果事件A在这n次试验中发生了n A n_AnA​次则称比值n A n \frac{n_A}{n}nnA​​为事件A发生的频率记作f n ( A ) f_n(A)fn​(A)。即对任意事件A在相同的条件下重复进行n次试验事件A发生k次从而事件A发生的频率k n \frac{k}{n}nk​随着试验次数n的增大而稳定地在某个常数p附近摆动那么称p为事件A的概率概率的公理化定义: 设E是随机试验S是它的样本空间。对于E的每一事件A赋予一个实数记为P ( A ) P(A)P(A)称为事件 A 的概率.满足条件概率的性质古典概型(等可能概型)我们高中数学的概率,拥有以下特点:试验的样本空间只包含有限个元素试验中每个基本事件发生的可能性相同。古典概型计算公式条件概率在事件 A 发生的前提条件下事件 B 发生的概率称为条件概率,记为P ( B ∣ A ) P ( A B ) P ( A ) P(B|A)\frac{P(AB)}{P(A)}P(B∣A)P(A)P(AB)​。条件概率符合概率的公理化定义中的三个条件乘法定理全概率公式和贝叶斯公式即将该样本空间划分为 n 个两两互不相容的事件. 结合乘法公式得出全概率公式该公式是 通过加和 A 在每个划分事件中概率得出A的总概率再进一步第一步由条件概率的定义由条件概率公式P ( B i ∣ A ) P ( A B i ) P ( A ) P(B_i|A) \dfrac{P(AB_i)}{P(A)}P(Bi​∣A)P(A)P(ABi​)​其中P ( A ) 0 P(A) 0P(A)0。第二步对分子应用乘法定理由乘法定理P ( A B i ) P ( A ∣ B i ) ⋅ P ( B i ) P(AB_i) P(A|B_i) \cdot P(B_i)P(ABi​)P(A∣Bi​)⋅P(Bi​)代入分子得P ( B i ∣ A ) P ( A ∣ B i ) P ( B i ) P ( A ) P(B_i|A) \frac{P(A|B_i)P(B_i)}{P(A)}P(Bi​∣A)P(A)P(A∣Bi​)P(Bi​)​转换得贝叶斯公式事件的独立性两事件互不相容与相互独立是完全不同的两个概念它们分别从两个不同的角度表达了两事件间的某种联系互不相容是表述在一次随机试验中两事件不能同时发生而相互独立是表述在一次随机试验中一事件是否发生与另一事件是否发生互无影响.AB相互独立与AB互不相容不能同时成立证明:P ( A ˉ B ) P ( A ˉ ) P ( B ) P(\bar{A}B)P(\bar{A})P(B)P(AˉB)P(Aˉ)P(B)P ( A ˉ B ) P ( A ) − P ( A B ) P(\bar{A}B)P(A)-P(AB)P(AˉB)P(A)−P(AB)P ( A ˉ B ) P ( A ) − P ( A ) P ( B ) P ( A ) ( 1 − P ( B ) ) P(\bar{A}B)P(A)-P(A)P(B)P(A)(1-P(B))P(AˉB)P(A)−P(A)P(B)P(A)(1−P(B))A,B,C相互独立的定义随机变量这里有个问题“如何去描述随机事件?”. 例如:硬件试验中,为正面(X1)的概率,随机数试验中, 数值小于3(X3)的概率现实世界中各色各样具象的随机事件就都可以被映射成数学世界中抽象的数字而这种映射规则就叫做随机变量.随机变量.质实际上就是随机事件的数字化.数值区间分布函数在完成了随机事件到随机变量的数字化过程之后,再想办法映射到概率值域 [0,1]内.这映射即为分布函数F ( x ) F(x)F(x)而在分布函数的基础上为了进一步的刻画其局部特性而丰富引入了概率分布离散型与概率密度连续型离散型随机变量的概率分布如果随机变量X的取值是有限个或可列无穷个则称X为离散型随机变量. 其概率分布Xx 1 x_1x1​x 2 x_2x2​x 3 x_3x3​x 4 x_4x4​x 5 x_5x5​…Pp 1 p_1p1​p 2 p_2p2​p 2 p_2p2​p 4 p_4p4​p 5 p_5p5​…P { X x k } P k , k 1 , 2 , 3... P\{Xx_k\}P_k, k1,2,3...P{Xxk​}Pk​,k1,2,3...∑ k 1 ∞ p k 1 \sum_{k1}^\infty p_k1∑k1∞​pk​10-1分布二项分布如图可见当X增加到一定程度后,概率P的增加就相对缓慢.泊松分布其它几何分布超几何分布、负几何分布连续型随机变量及其概率密度概率密度的性质均匀分布指数分布正态分布其它伽马分布贝塔分布随机变量函数的分布二维随机变量分布函数边缘分布函数二维离散型随机变量二维连续型随机变量条件分布离散型条件分布连续性条件分布随机变量的独立性两个随机变量的函数的分布两个离散型随机变量的函数的分布求解思路二项分布的可加性泊松分布的可加性两个连续型随机变量的函数的分布求解思路定义法使用雅可比行列式的变量变换法ZXY以及卷积公式正态分布的可加性Mmax{X, Y}和Nmin{X,Y}的分布以及推广主要参考《第一章 概率论的基本概念》《第二章 随机变量及其分布》《概率论-3.随机变量与分布函数》《随机变量及其分布》《第三章 多维随机变量及其分布》《概率论-5.多维随机变量及其函数的分布》