FM：

FM（Factorization Machine，因子分解机）是一种适合稀疏特征场景（如广告 CTR/CVR）的机器学习模型，用来同时建模一阶特征和二阶特征交叉。

要解决什么问题

One-Hot 后特征很稀疏、维度很高；很多有用信号来自特征组合（如“中国”ד春节”、“化妆品”ד女性”）。普通多项式模型为每对交叉单独学一个wij，在稀疏数据上很难训准。

核心做法

把交叉权重做成两个隐向量的点积：

wij=vivj

模型（二阶）为：

yx=w0+iwixi+i<j⟨vivjxixj

• 每个特征一个长度为k（k≪n）的隐向量
• 二次项参数从On2降到Onk
• 不同交叉共享隐向量，稀疏时也能互相“借力”学习

特点

• 可用不同损失做回归或二分类
• 二次项可化简，训练/预测复杂度约Okn，较高效

一句话：FM = 用矩阵分解思想，高效学习稀疏特征下的二阶交叉。

# FM问题来源

CTR/CVR预测时，用户的性别、职业、教育水平、品类偏好，商品的品类等，经过One-Hot编码转换后都会导致样本数据的稀疏性。

特别是商品品类这种类型的特征，如商品的末级品类约有550个，采用One-Hot编码生成550个数值特征，但每个样本的这550个特征，有且仅有一个是有效的（非零）。

由此可见，数据稀疏性是实际问题中不可避免的挑战。

One-Hot编码的另一个特点就是导致特征空间大。

例如，商品品类有550维特征，一个categorical特征转换为550维数值特征，特征空间剧增。

同时通过观察大量的样本数据可以发现，某些特征经过关联之后，与label之间的相关性就会提高。例如，“USA”与“Thanksgiving”、“China”与“Chinese New Year”这样的关联特征，对用户的点击有着正向的影响。

换句话说，来自“China”的用户很可能会在“Chinese New Year”有大量的浏览、购买行为，而在“Thanksgiving”却不会有特别的消费行为。

这种关联特征与label的正向相关性在实际问题中是普遍存在的，如“化妆品”类商品与“女”性，“球类运动配件”的商品与“男”性，“电影票”的商品与“电影”品类偏好等。

因此，引入两个特征的组合是非常有意义的。

# FM基本原理

多项式模型是包含特征组合的最直观的模型。

在多项式模型中，特征 $x_i$ 和 $x_j$ 的组合采用 $x_ix_j$表示，即 $x_i$ 和 $x_j$ 都非零时，组合特征 $x_ix_j$ 才有意义。

从对比的角度，本文只讨论二阶多项式模型。模型的表达式如下

$$y(x) = w_0+ \sum_{i=1}^n w_i x_i + \sum_{i=1}^n \sum_{j=i+1}^n w_{ij} x_i x_j \tag{1}$$

其中，$n$ 代表样本的特征数量，$x_i$ 是第 $i$ 个特征的值，$w_0$、$w_i$、$w_{ij}$是模型参数。

从公式(1)可以看出，组合特征的参数一共有 $\frac{n(n−1)}{2}$个，任意两个参数都是独立的。

然而，在数据稀疏性普遍存在的实际应用场景中，二次项参数的训练是很困难的。

其原因是，每个参数 $w_{ij}$的训练需要大量 $x_i$ 和 $x_j$ 都非零的样本；

由于样本数据本来就比较稀疏，满足“$x_i$ 和 $x_j$ 都非零”的样本将会非常少。

训练样本的不足，很容易导致参数 $w_{ij}$ 不准确，最终将严重影响模型的性能。

# 系数矩阵分解

那么，如何解决二次项参数的训练问题呢？矩阵分解提供了一种解决思路。

与在model-based的协同过滤中，一个rating矩阵可以分解为user矩阵和item矩阵。

对于对称矩阵W，

由于直接求解W不方便，因此我们引入隐变量V：

满足

$$VV^T = W$$

$V$ 的第$ j$列$v_j$便是第$ j $维特征的**隐向量**。换句话说，每个参数 $w_{ij}=⟨v_i,v_j⟩$，这就是FM模型的核心思想。因此，FM的模型方程为（本文不讨论FM的高阶形式）

$$y(x) = w_0+ \sum_{i=1}^n w_i x_i + \sum_{i=1}^n \sum_{j=i+1}^n<v_i, v_j >x_i x_j \tag{2}$$

# 参数个数

$ v_i $是第 $ i $ 维特征的隐向量，$ <·,·> $ 代表向量点积。

隐向量的长度为 $ k （ k << n $），包含 $ k $ 个描述特征的因子。

根据公式2，二次项的参数数量减少为 $ kn $个，远少于多项式模型的参数数量。

另外，参数因子化使得 $ x_h x_i $ 的参数和 $ x_i x_j $ 的参数不再是相互独立的，因此我们可以在样本稀疏的情况下相对合理地估计FM的二次项参数。

具体来说，$ x_h x_i $ 和 $ x_i x_j $ 的系数分别为 $ <v_h,v_i> $ 和 $ <v_i, v_j>$，它们之间有共同项 $ v_i $。

也就是说，所有包含“$ x_i $ 的非零组合特征”（存在某个 $ j\neq i $，使得 $ x_i x_j \neq 0 $）的样本都可以用来学习隐向量 $ v_i $，这很大程度上避免了数据稀疏性造成的影响。

而在多项式模型中，$ w_{hi} $ 和 $ w_{ij} $ 是相互独立的。

# 预测时间复杂度

显而易见，公式(2)是一个通用的拟合方程，可以采用不同的损失函数用于解决回归、二元分类等问题，比如可以采用MSE（Mean Square Error）损失函数来求解回归问题，也可以采用Hinge/Cross-Entropy损失来求解分类问题。

当然，在进行二元分类时，FM的输出需要经过sigmoid变换，这与Logistic回归是一样的。

当我们已经求出所有参数以后，对新输入对象进行预测时，FM的计算复杂度是 $O(kn^2)$。

但是，通过公式(3)的等式，FM的二次项可以化简，其复杂度可以优化到 $O(kn)$。

由此可见，**FM可以在线性时间对新样本作出预测**。

$$\sum_{i=1}^n \sum_{j=i+1}^n \langle \mathbf{v}_i, \mathbf{v}_j \rangle x_i x_j = \frac{1}{2} \sum_{f=1}^k \left(\left( \sum_{i=1}^n v_{i, f} x_i \right)^2 - \sum_{i=1}^n v_{i, f}^2 x_i^2 \right) \tag{3}$$

# 梯度下降法

利用SGD（Stochastic Gradient Descent）训练模型。模型各个参数的梯度如下

$$\frac{\partial}{\partial\theta} y (\mathbf{x}) = \left\{\begin{array}{ll} 1, & \text{if}\; \theta\; \text{is}\; w_0 \\ x_i, & \text{if}\; \theta\; \text{is}\; w_i \\ x_i \sum_{j=1}^n v_{j, f} x_j - v_{i, f} x_i^2, & \text{if}\; \theta\; \text{is}\; v_{i, f} \end{array}\right.$$

其中，$ v_{j, f} $ 是隐向量 $ v_j $ 的第 $ f $ 个元素。

由于 $ \sum_{j=1}^n v_{j, f} x_j $ 只与 $ f $ 有关，而与 $ i $ 无关，在每次迭代过程中，只需计算一次所有 $ f $ 的 $ \sum_{j=1}^n v_{j, f} x_j $，就能够方便地得到所有 $ v_{i, f} $ 的梯度。

显然，计算所有 $ f $ 的 $ \sum_{j=1}^n v_{j, f} x_j $ 的复杂度是 $ O(kn) $；

已知 $ \sum_{j=1}^n v_{j, f} x_j $ 时，计算每个参数梯度的复杂度是 $ O(1) $；

得到梯度后，更新每个参数的复杂度是 $ O(1) $；模型参数一共有 $ nk + n + 1 $ 个。

因此，FM参数训练的复杂度也是 $ O(kn) $。综上可知，FM可以在线性时间训练和预测，是一种非常高效的模型。

FFM:

FFM（Field-aware Factorization Machine，场感知因子分解机）是在FM基础上引入field（场）的改进模型，用来更精细地建模不同类别特征之间的交叉。

相对 FM 改了什么

• FM：每个特征只有1个隐向量vi，和谁交叉都用同一个向量。
• FFM：特征先按场分组（如 publisher、advertiser、gender；同一类目 One-Hot 出的维度通常同属一个 field）。
  特征xi针对对方所属的每个 fieldfj，各有一个隐向量vi,fj。

含义：同一个特征（如“日期=某天”）与“国家”交叉、与“广告类型”交叉时，用的是不同隐向量，更符合不同场之间的差异。

模型形式

yx=i<j⟨vi,fjvj,fixixj

实践中常只保留二次项；FM 可看成「全部特征归为一个 field」时的 FFM 特例。

代价

• 二次项参数约nfk（多于 FM 的nk）
• 与 field 相关，二次项一般不能像 FM 那样化简，预测复杂度约Okn2
• notebook 中多用 logistic loss + L2，偏二分类（如 CTR）

一句话：FFM = 带场信息的 FM，交叉更细，表达更强，但更重。

# FFM原理

# 背景及基本原理

在FM模型中，每一个特征会对应一个隐变量，但在FFM模型中，认为应该将特征分为多个field，每个特征对应每个field分别有一个隐变量。

举个例子，我们的样本有3种类型的字段：publisher, advertiser, gender，分别可以代表媒体，广告主或者是具体的商品，性别。

其中publisher有5种数据，advertiser有10种数据，gender有男女2种，经过one-hot编码以后，每个样本有17个特征，其中只有3个特征非空。

简单来说，同一个categorical特征经过One-Hot编码生成的数值特征都可以放到同一个field。

如果使用FFM模型，则17个特征，每个特征对应3个隐变量，即每个类型对应一个隐变量，具体而言，就是对应publisher, advertiser, gender三个field各有一个隐变量。

在FFM中，每一维特征 $x_i$，针对其它特征的每一种field $f_j$（**其中 $f_j$表示第j维特征所属的field**），都会学习一个隐向量 $v_{i,f_j}$。因此，隐向量不仅与特征相关，也与field相关。

也就是说，**“Day=26/11/15”这个特征与“国家”特征和“广告类型"特征进行关联的时候使用不同的隐向量，这与“国家”和“广告类型”的内在差异相符**。

假设样本的 $n$ 个特征属于 $f$ 个field，那么FFM的二次项有 $nf$个隐向量。

而在FM模型中，每一维特征的隐向量只有一个。FM可以看作FFM的特例，是把所有特征都归属到一个field时的FFM模型。

根据FFM的field敏感特性，可以导出其模型方程。

$$y(x) = w_0 + \sum_{i=1}^n w_i x_i + \sum_{i=1}^n \sum_{j=i+1}^n < v_{i, f_j}, v_{j, f_i} > x_i x_j \tag{4}$$

其中，$f_j$ 是第 $j$ 个特征所属的field。如果隐向量的长度为 $k$，那么FFM的二次参数有 $nfk$ 个，远多于FM模型的 $nk$ 个。此外，由于隐向量与field相关，FFM二次项并不能够化简，其预测复杂度是 $O(kn^2)$。

下面以一个例子简单说明FFM的特征组合方式[9]。输入记录如下

|用户|电影| 电影类型| 价格|

|--|--|--|---|

|user1|三傻|喜剧, 戏剧 |$9.99|

这条记录可以编码成5个特征，其中“电影类型=喜剧”和“电影类型=戏剧”属于同一个field，“Price”是数值型，不用One-Hot编码转换。

为了方便说明FFM的样本格式，我们将所有的特征和对应的field映射成整数编号。

|field name| Field index| Feature name| Feature index|

|--|--|--|---|

|User| 1 |User=YuChin| 1|

|Movie| 2| Movie=3Idiots| 2|

|Genre| 3| Genre=Comedy| 3|

|| | Genre=Drama |4|

|Price|4|Price| 5|

那么，FFM的组合特征有10项，如下图所示。

二次项的系数是通过与特征field相关的隐向量点积得到的，二次项共有 $\frac{n(n−1)}{2}$ 个。

事实上，在大多数情况下，FFM模型只保留了二次项部分，省略常数项和一次项，即：

$$\phi(V,x) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=i+1}^n < v_{i, f_j}, v_{j, f_i} > x_i x_j =\sum_{i=1}^n \sum_{j=i+1}^n (v^T_{i, f_j}v_{j, f_i} ) x_i x_j $$

# 最优化问题

FFM模型采用logistic loss作为损失函数，和L2惩罚项，因此只能用于二元分类问题。根据逻辑回归的损失函数及分析，可以得出FFM的最优化问题为：

$$\min_{\mathbf{v}} \sum_{i=1}^L \log \big( 1 + \exp\{ -y_i \phi (\mathbf{v}, \mathbf{x}_i ) \} \big) + \frac{\lambda}{2} \| \mathbf{v} \|^2$$

中，$y_i∈\{−1,1\}$ 是第 $i$ 个样本的label，$L$ 是训练样本数量，$λ$是惩罚项系数。模型采用SGD优化

# FFM代码实现

符号约定：

$n$:特征的维数

$m$:域的个数

$k$:隐向量的维度

$j$:在特征中的下标

$f$:在域中的下标

$d$:在隐向量中的下标

$l$:样本的总数

粗体字母表示向量或矩阵

**特征组合**

**最基本的线性加权**

$$\phi_{LM}(\textbf{w},\textbf{x})=\sum_{i=1}^n{w_ix_i}$$

**任意特征两两组合**

$$\phi_{poly2}(\textbf{w},\textbf{x})=\sum_{j1=1}^n{\sum_{j2=j1+1}^n{w_{j1,j2}x_{j1}x_{j2}}}$$

$w$是一个对称方阵，即$w_{j1,j2}=w_{j2,j1}$，可以用矩阵分解法来拟合$w$。

$$w_{j1,j2}=\textbf{v}_{j1}\cdot\textbf{v}_{j2}=\textbf{v}_{j2}\cdot\textbf{v}_{j1}=w_{j2,j1}$$

矩阵$w$的规模是$n×n$，矩阵$v$的规模是$n×k$，$k≪n$。实际上我们已经推导出了因子分解法。

**因子分解法FM**

$$\phi_{FM}(\textbf{w},\textbf{x})=\sum_{j1=1}^n{\sum_{j2=j1+1}^n{\textbf{w}_{j1}\cdot \textbf{w}_{j2}x_{j1}x_{j2}}}$$

这里的$w_j$相当于上面的$v_j$。

**域感知的因子分解法FFM**

$$\phi_{FFM}(\textbf{w},\textbf{x})=\sum_{j1=1}^n{\sum_{j2=j1+1}^n{\textbf{w}_{j1,f2}\cdot \textbf{w}_{j2,f1}x_{j1}x_{j2}}}$$

在FM中w是规模为$n×k_{FM}$的二维矩阵，而在FFM中$w$是规模为$n×m×k_{FFM}$的三维矩阵，$k_{FFM}≪k_{FM}$。

**逻辑回归二分类**

**决策函数**

$$\hat{y}=\frac{1}{1+exp(-\phi_{FFM}(\textbf{w},\textbf{x}))}$$

**带L2正则的目标函数**

$$\min_{\textbf{w}}\;\;\frac{\lambda}{2}\parallel w\parallel_2^2+\sum_{i=1}^llog(1+exp(-y_i\phi_{FFM}(\textbf{w},\textbf{x}_i)))$$

> 其中$y_i∈\{−1,1\}$，注意，虽然在预测结果出来的是0-1之间数，但是训练时的y值取-1或1，所以当训练结束后，及测试集上测试，评估模型时，要将测试集的y值转换为0-1。

在SGD中每次只需要考虑一个样本的损失，此时目标函数为

$$\min_{\textbf{w}}\;\;\frac{\lambda}{2}\parallel w\parallel_2^2+log(1+exp(-y\phi_{FFM}(\textbf{w},\textbf{x})))$$

**梯度**

$$\textbf{g}_{j1,f2}=\lambda\cdot\textbf{w}_{j1,f2}+\kappa\cdot\textbf{w}_{j2,f1}x_{j1}x_{j2}$$

$$\textbf{g}_{j2,f1}=\lambda\cdot\textbf{w}_{j2,f1}+\kappa\cdot\textbf{w}_{j1,f2}x_{j1}x_{j2}$$

梯度之所会这么简单，依赖一个很重要的前提：同一个域下的各个特征只有一个是非0值。

其中

$$\kappa=\frac{\partial log(1+exp(-y\phi_{FFM}(\textbf{w},\textbf{x})))}{\partial\phi_{FFM}(\textbf{w},\textbf{x})}=\frac{-y}{1+exp(y\phi_{FFM}(\textbf{w},\textbf{x}))}$$

**AdaGrad更新w**

$$(G_{j1,f2})_d\gets(G_{j1,f2})_d+(g_{j1,f2})_d^2$$

$$(G_{j2,f1})_d\gets(G_{j2,f1})_d+(g_{j2,f1})_d^2$$

$$(w_{j1,f2})_d\gets(w_{j1,f2})_d-\frac{\eta}{\sqrt{(G_{j1,f2})_d}}(g_{j1,f2})_d$$

$$(w_{j2,f1})_d\gets(w_{j2,f1})_d-\frac{\eta}{\sqrt{(G_{j2,f1})_d}}(g_{j2,f1})_d$$

初始化$G_d=1$，这样在计算$\frac{\eta}{\sqrt{G_d}}$时既可以防止分母为0，又可以避免该项太大或太小。

$η$是学习率，通常可取0.01。

初始的$w$可以从均匀分布中抽样$\textbf{w}\sim U(0,\frac{1}{\sqrt{k}})$

实现发现将每个$x$归一化，即模长为1，在测试集得到的准确率会稍微好一点且对参数不太敏感。

工业上目前那种方法用的更多？

若只比FM和 FFM：现在更常见、更常用的是FM（或其变体/组件），纯FFM相对少很多。

原因大致是：

• FFM参数多（约nfk）、预测约Okn2，大流量 CTR 上成本和延迟更重
• FM可化简到约Okn，更易上线、当强基线

从更大范围看（广告/推荐点击率）：
2015–2017 前后 FM/FFM 很火；近几年工业界更主流的是深度学习 CTR 模型（如 DeepFM、Wide&Deep、DIN 等），其中常内嵌 FM 式交叉，而不是单独训一个大 FFM。

简要结论：二者里选，FM 用得更多；整体趋势上，单独的 FM/FFM 已不如深度交叉模型普遍，但 FM 思想仍广泛保留。