一、为什么要验证超效率 FDH 模型

FDH（Free Disposal Hull，自由处置壳）是 DEA 体系中经典的非凸前沿模型，核心特性是去除生产可能集的凸性假设，权重λ \lambdaλ为 0-1 二元变量，仅以真实存在的 DMU 作为评价标杆，更贴合部分无规模效应的细分场景。其中超效率 FDH 进一步剔除被评价单元自身参与前沿构建，可对传统 FDH 中的有效单元做精准排序，是效率评优、标杆遴选场景的常用工具。

在 DEA 软件开发中，FDH 模型是极易出现隐蔽错误的模块：权重变量类型误设为连续型、极端有效单元判定逻辑缺失、非期望产出约束方向颠倒、规模报酬约束与二元变量不匹配等问题，都会导致最终效率值完全偏离理论定义，且表面上“能正常输出数值”，很难被普通用户直接识别。

本文基于标准单调测试数据集，从前沿特性合理性、投入导向数值验算、产出导向数值验算、非期望产出约束规范性四个维度，对 DEA Performance 软件中的超效率 FDH-VRS 模型（含非期望产出扩展）进行全流程准确性验证，确保模型实现完全符合经典 FDH 理论规范。

二、超效率 FDH 模型的理论基础与校验标准

2.1 超效率 FDH 的核心定义

超效率 FDH 在评价单个 DMU 时，将其自身从参考集中剔除，通过剩余 DMU 构建非凸生产前沿，核心特性：

• 非凸前沿：权重λ \lambdaλ为 0-1 二元变量，仅能选择单个真实 DMU 作为标杆，不允许线性组合。
• 超效率排序：有效单元的效率值可大于 1（或无穷大），实现全样本精准排序。
• VRS 规模报酬：强制∑ λ = 1 \sum \lambda = 1∑λ=1，即仅能选择一个其他 DMU 作为参考标杆。

2.2 投入导向超效率 FDH 数学形式

min ⁡ θ s.t. ∑ j ≠ k λ j x i j ≤ θ x i k , i = 1 , . . . , m ∑ j ≠ k λ j y r j ≥ y r k , r = 1 , . . . , s ∑ j ≠ k λ j b t j ≤ θ b t k , t = 1 , . . . , s 2 ∑ j ≠ k λ j = 1 ( VRS ) λ j ∈ { 0 , 1 } \begin{align*} \min \quad & \theta \\ \text{s.t.} \quad & \sum_{j \neq k} \lambda_j x_{ij} \le \theta x_{ik}, \quad i=1,...,m \\ & \sum_{j \neq k} \lambda_j y_{rj} \ge y_{rk}, \quad r=1,...,s \\ & \sum_{j \neq k} \lambda_j b_{tj} \le \theta b_{tk}, \quad t=1,...,s_2 \\ & \sum_{j \neq k} \lambda_j = 1 \quad (\text{VRS}) \\ & \lambda_j \in \{0,1\} \end{align*}mins.t.​θj=k∑​λj​xij​≤θxik​,i=1,...,mj=k∑​λj​yrj​≥yrk​,r=1,...,sj=k∑​λj​btj​≤θbtk​,t=1,...,s2​j=k∑​λj​=1(VRS)λj​∈{0,1}​

2.3 三层校验准则

本次验证设置三层递进式校验标准：

1. 前沿特性校验：极端有效单元判定符合理论预期，无逻辑矛盾。
2. 数值精准性校验：关键样本手动推导结果与软件输出零偏差。
3. 约束规范性校验：非期望产出约束方向正确，规模约束与二元变量匹配。

图 1 DEA Performance 软件超效率 FDH 模型参数配置界面

三、验证方案与测试数据

3.1 测试数据集

本次验证采用 20 个决策单元的标准单调测试数据集，数据呈现严格的单调变化特征：从 DMU1 到 DMU20，投入递增、期望产出递减、非期望产出递增，趋势清晰，便于验证效率排序的一致性。

核心数据维度：

• 投入指标：2 项
• 期望产出指标：2 项
• 非期望产出指标：2 项
• DMU 数量：20 个

3.2 软件参数配置

本次验证使用 DEA Performance 软件，核心参数配置如下：

• 基础模型：超效率 FDH
• 规模报酬：VRS 可变规模报酬
• 计算导向：分别测试投入导向、产出导向两组
• 非期望产出：包含 2 列，启用弱可处置性约束

四、第一维度：前沿特性合理性验证

4.1 极端有效单元判定

FDH-VRS 模式下，每个 DMU 仅能选择单个其他 DMU 作为标杆。DMU1 是全样本中投入最少、期望产出最高、非期望产出最低的样本，具备绝对前沿优势。剔除自身 DMU1 后，剩余 19 个 DMU 中没有任何一个能同时满足：

• 投入≤ \le≤DMU1 的投入
• 期望产出≥ \ge≥DMU1 的期望产出
• 非期望产出≤ \le≤DMU1 的非期望产出

因此超效率模型无可行解，软件判定 DMU1 为极端有效单元（效率值无穷大）。

4.2 结论

该判定完全符合超效率 FDH 的非凸前沿特性，逻辑正确，未出现“无可行解直接标记为 NaN”的粗糙处理，也未出现“强行赋予有限值”的错误处理。

五、第二维度：投入导向超效率 FDH 数值验算

5.1 整体结果趋势

运行投入导向超效率 FDH-VRS 模型，核心节点效率结果如下：

图 2 投入导向超效率 FDH 计算结果界面截图

图 3 投入导向效率值随 DMU 序号变化趋势图

5.2 关键样本手动验算

投入导向超效率 FDH 的核心逻辑：从剩余样本中找最优标杆，计算当前 DMU 投入的最小可收缩比例θ \thetaθ，最紧约束决定最终效率值。

(1) DMU2 验算（标杆为 DMU1）
约束条件：

• 投入 1：5.50 ≤ θ × 5.82 ⟹ θ ≥ 0.9450 5.50 \le \theta \times 5.82 \implies \theta \ge 0.94505.50≤θ×5.82⟹θ≥0.9450
• 投入 2：3.20 ≤ θ × 3.35 ⟹ θ ≥ 0.955224 3.20 \le \theta \times 3.35 \implies \theta \ge 0.9552243.20≤θ×3.35⟹θ≥0.955224（最紧约束）
• 期望产出：DMU1 产出均高于 DMU2，自动满足。
• 非期望产出：DMU1 非期望均低于 DMU2，自动满足。

最终效率值取最紧约束值0.955224 0.9552240.955224，与软件输出完全一致。

(2) DMU3 验算（标杆为 DMU1）
投入 2 约束：3.20 ≤ θ × 3.52 ⟹ θ ≥ 0.909091 3.20 \le \theta \times 3.52 \implies \theta \ge 0.9090913.20≤θ×3.52⟹θ≥0.909091（最紧约束）。
最终效率值0.909091 0.9090910.909091，与软件输出完全一致。

(3) DMU14 验算（标杆为 DMU1）
投入 1 约束：5.50 ≤ θ × 10.63 ⟹ θ ≥ 0.517404 5.50 \le \theta \times 10.63 \implies \theta \ge 0.5174045.50≤θ×10.63⟹θ≥0.517404（最紧约束）。
最终效率值0.517404 0.5174040.517404，与软件输出完全一致。

(4) DMU20 验算（标杆为 DMU1）
投入 1 约束：5.50 ≤ θ × 13.00 ⟹ θ ≥ 0.423077 5.50 \le \theta \times 13.00 \implies \theta \ge 0.4230775.50≤θ×13.00⟹θ≥0.423077（最紧约束）。
最终效率值0.423077 0.4230770.423077，与软件输出完全一致。

5.3 整体趋势验证

从 DMU1 到 DMU20，投入持续递增、期望产出持续递减、非期望产出持续递增，投入导向效率值严格单调递减，无异常反转、无跳点，与数据物理特征完全匹配。

六、第三维度：产出导向超效率 FDH 数值验算

6.1 整体结果趋势

运行产出导向超效率 FDH-VRS 模型，核心节点效率结果如下：

图 4 产出导向超效率 FDH 计算结果界面截图

图 5 产出导向效率值随 DMU 序号变化趋势图

6.2 关键样本手动验算

产出导向超效率 FDH 的核心逻辑：从剩余样本中找最优标杆，计算当前 DMU 产出的最大可扩张比例ϕ \phiϕ，最紧约束决定最终效率值。

(1) DMU2 验算（标杆为 DMU1）
约束条件：

• 产出 1：11.42 ≥ ϕ × 11.18 ⟹ ϕ ≤ 1.0215 11.42 \ge \phi \times 11.18 \implies \phi \le 1.021511.42≥ϕ×11.18⟹ϕ≤1.0215
• 产出 2：8.72 ≥ ϕ × 8.56 ⟹ ϕ ≤ 1.018692 8.72 \ge \phi \times 8.56 \implies \phi \le 1.0186928.72≥ϕ×8.56⟹ϕ≤1.018692（最紧约束）
• 投入、非期望产出：DMU1 均优于 DMU2，自动满足。

最终效率值取最紧约束值1.018692 1.0186921.018692，与软件输出完全一致。

(2) DMU3 验算（标杆为 DMU1）
产出 2 约束：8.72 ≥ ϕ × 8.41 ⟹ ϕ ≤ 1.036861 8.72 \ge \phi \times 8.41 \implies \phi \le 1.0368618.72≥ϕ×8.41⟹ϕ≤1.036861（最紧约束）。
最终效率值1.036861 1.0368611.036861，与软件输出完全一致。

(3) DMU14 验算（标杆为 DMU1）
产出 2 约束：8.72 ≥ ϕ × 6.54 ⟹ ϕ ≤ 1.333333 8.72 \ge \phi \times 6.54 \implies \phi \le 1.3333338.72≥ϕ×6.54⟹ϕ≤1.333333（最紧约束）。
最终效率值1.333333 1.3333331.333333，与软件输出完全一致。

(4) DMU20 验算（标杆为 DMU1）
产出 2 约束：8.72 ≥ ϕ × 5.80 ⟹ ϕ ≤ 1.503448 8.72 \ge \phi \times 5.80 \implies \phi \le 1.5034488.72≥ϕ×5.80⟹ϕ≤1.503448（最紧约束）。
最终效率值1.503448 1.5034481.503448，与软件输出完全一致。

6.3 双导向一致性验证

投入导向与产出导向的 DMU 排序完全对应，边界单元一致，双导向逻辑自洽，未出现导向切换后排序反转的矛盾。

七、第四维度：非期望产出约束规范性验证

本套测试数据中，DMU1 的非期望产出为全样本最低，作为标杆时天然满足约束条件，因此未构成紧约束，但约束处理逻辑完全规范：

1. 方向正确：投入导向下非期望产出与投入同向处理，标杆非期望≤ θ × \le \theta \times≤θ×当前非期望，符合弱可处置性定义。
2. 同步参与超效率：非期望产出同步纳入剔除自身后的前沿构建，未出现“非期望产出不参与超效率”的常见疏漏。
3. 无逻辑倒置：未出现“非期望产出越高效率越高”的方向错误，评价逻辑自洽。

八、FDH 模型开发的常见坑点与避坑指南

结合本次验证经验，梳理超效率 FDH 开发中最高发的 4 类隐蔽错误，供同行参考：

1. 权重变量类型错误：误将λ \lambdaλ设为连续型变量，退化为传统 DEA，失去 FDH 非凸特性。
2. 极端有效处理粗糙：无可行解时直接标记为 NaN，不做极端有效判定，丢失重要信息。
3. 非期望产出约束颠倒：非期望产出约束方向与期望产出混淆，导致污染越重效率越高的荒谬结果。
4. 规模约束不匹配：VRS 模式下未强制∑ λ = 1 \sum \lambda = 1∑λ=1，或与二元变量逻辑冲突。

九、结论

通过前沿特性验证、投入导向数值验算、产出导向数值验算、非期望产出约束校验四层完整验证，可以得出最终结论：

1. DEA Performance 软件的超效率 FDH-VRS 模型严格遵循经典非凸前沿理论定义，权重二元变量、规模报酬约束均实现正确。
2. 极端有效单元判定符合理论预期，关键样本手动验算结果与软件输出零偏差，数值精度可靠。
3. 非期望产出扩展处理规范，弱可处置性约束方向正确，适用于绿色效率等非凸评价场景。
4. 投入导向与产出导向双版本逻辑自洽，效率排序与数据物理特征高度匹配。

超效率 FDH 是细分场景下的重要效率评价工具，对非凸生产特性的场景具备独特优势。本次验证通过的超效率 FDH 模块，已完整集成至 DEA Performance 软件中，支持全规模报酬切换、双导向计算、多列非期望产出，可稳定用于行业标杆遴选、细分领域效率评优等各类实证与业务场景。

DEA Performance 链接：https://pan.baidu.com/s/1ziQkmN9LmLDebUGBIolIyw?pwd=5802