免责声明：不保证我的 note 完善总结了课堂所授，也不保证正确性。通过对后续所需数学基础的考察，感觉博主有相当概率会中期退课。
集合论（Naive Set Theorem）
Cantor-Bernstein 定理：两集合互有单射，则必有双射
对于集合 \(S,T\) ，如果存在单射 \(f:S\rightarrow T\) 和 \(g:T\rightarrow S\) ，则 \(S,T\) 之间存在双射。
证明：可以构造一个二分图，左部是 \(S\) ，右部是 \(T\) ，那么图是由环和链构成，其中链没有终点，只有起点。
于是对于从 \(T\) 开始的链，可以令 \(\varphi(x)=g^{-1}(x)\) ，否则令 \(\varphi(x)=f(x)\) 。
环的话就令 \(\varphi(x)=f(x)\) 即可。
Cantor 定理： 不存在 \(2^S\) 到 \(S\) 的单射。
假设 \(\varphi:2^S\rightarrow S\) 是单射。
令 \(A=\varphi(2^S)\) ，\(T=\{x\in A|x\notin \varphi^{-1}(x)\}\) 。
那么 \(T\in 2^S\) 。令 \(a=\varphi(T)\)
如果 \(a\in T\) ，则 \(a\notin \varphi^{-1}(a)=T\) ，矛盾
如果 \(a\notin T\) ，则 \(a\in A-T\) ，那么 \(a\in \varphi^{-1}(a)=T\) ，矛盾
综上，不存在这样的 \(\varphi\) 。
结论：\(R\sim 2^N\)
先找 \(2^N\rightarrow R\) 的单射：令 \(\varphi(S)=\sum\limits_{x\in S}3^{-x}\) 即可。
再找 \(R\rightarrow 2^N\) 的单射，我们分为两步。
先找 \(R\rightarrow (0,1)\) ，其实有 \(R\sim (0,1)\) ，构造 \(f:(0,1)\rightarrow R\) 满足 \(f(x)=\tan(\frac{\pi}{2}(2x-1))\) ，这是双射。
再找 \((0,1)\rightarrow 2^N\) ，考虑把一个 \((0,1)\) 间的数看成是二进制小数，问题在于它有两种表示方式：无限 \(0\) 结尾，无限 \(1\) 结尾，限制为前者即可。
结论：\(N\sim Q\)
\(N\rightarrow Q\) 显然。
\(Q\rightarrow Z×N\) ：把一个有理数写成整数除以正整数的形式。
\(Z×N\rightarrow N\) ： 我们只需要把这些数对按照一个顺序排列，依次编号。可以蛇形地进行编号，虽然最后的形式比较丑，但确实很对。
基数乘幂规则：\((S^T)^W\sim S^{T×W}\)
考虑 \(h:W\rightarrow S^T\) 。现在构造 \(\varphi(h):T×W\rightarrow S\) 。考虑 \(\varphi(h)(x,y)=h(y)(x)\) 即可。这个显然是双射。
结论：\(A\sim A',B\sim B'\rightarrow A^B\sim A'^{B'}\)
对于 \(h:B\rightarrow A\) ，构造 \(\varphi(h):B'\rightarrow A'\) 满足 \(\varphi(h)(b')=(h(b))'\)
结论：\(R^N\sim R\)
\(R\rightarrow R^N\) 显然：对于 \(x\in R\) ，构造 \(f:N\rightarrow R\) 满足 \(f(0)=x,f(1)=0,f(2)=0,\dots\) ，然后令 \(\varphi(x)=f\) 。
\(R^N\rightarrow R\) ：对于 \(f\in R^N\) ，我们可以蛇形串起来 \(f(0),f(1),f(2),\dots\) ，得到一个实数.....。哎，这个构造很魔怔。
另一个证法： \(R^N\sim (2^N)^N\sim 2^{N×N}\sim 2^N\sim R\) 。
偏序
\(a\le a,a\le b\land b\le c\rightarrow a\le c,a\le b\land b\le a\rightarrow a=b\)
全序：偏序基础上，任意二者都可比较，也就是 \(a\le b\lor b\le a\)
良序：全序基础上，\(\forall S,\exists a\in S,\forall b\in S,a\le b\)
良序定理
任意集合都能找到一个序，这个序是良序的
连续统假设（CH）
是否有一个集合的势在 \(|N|\) 和 \(|R|\) 之间？前人已经证明：在现有的数学体系下，无法证明这件事是否成立。是，或不是，可以引出两套独立的理论。