最大流最小费用问题转换为线性规划问题求解(附代码)

以例题入手：

现需要将城市s的石油通过管道运送到城市t ，中间有4个中转站 v1 ,v2 ,v3 和 v4 ，由于输油管道的长短不一或地质等原因，每条管道上运输费用也不相同，因此，除考虑输油管道的最大流外，还需要考虑输油管道输送最大流的最小费用。城市与中转站的连接以及管道的容量和运费如下图，其中第1个数字是网络的容量，第2个数字是网络的单位运费。

符号说明：

符号

说明

流过管道(u,v)的流量

管道(u,v)的容量

管道(u,v)的单位运费

E

管道集合

V

中转站集合

建模：

该问题为经典的网络流问题——最小费用最大流问题，建立的数学模型如下：

（1）目标：

  • 最小费用：

  • 最大流量：

（2）约束条件：

  • 流量约束：

​

  • 流量守恒：

​

思路：

  1. 通过标号法或者最大流算法求出最大流量。
  2. 以总费用最小作为目标函数。
  3. 在保证总流量等于最大流量的条件下，以流量约束公式和流量守恒公式为约束条件。
  4. 使用线性规划问题的求解方法求解。

最大流算法：

最大流算法是用于解决网络流问题的一类算法，其目标是在一个带有容量限制的有向图中找到从源点到汇点的最大流量。最著名的最大流算法之一是Ford-Fulkerson算法及其变体，其核心思想是通过不断增加路径上的流量来逐步增大总的流量，直到无法再找到增广路径为止。Ford-Fulkerson算法的变体包括Edmonds-Karp算法、Dinic算法和Push-Relabel算法等。

接下来使用Edmonds-Karp算法，它使用BFS（广度优先搜索）来寻找增广路径，相比于Ford-Fulkerson算法的随机路径选择，Edmonds-Karp算法在实践中通常更为高效。

function [path, path_flow] = bfs(residual_capacity, source, sink, n) parent = -ones(1, n); visited = false(1, n); queue = java.util.LinkedList(); queue.add(source); visited(source) = true; parent(source) = -1; while ~queue.isEmpty() u = queue.remove(); for v = 1:n if ~visited(v) && residual_capacity(u, v) > 0 queue.add(v); visited(v) = true; parent(v) = u; if v == sink path = []; path_flow = Inf; while parent(v) ~= -1 path = [v path]; path_flow = min(path_flow, residual_capacity(parent(v), v)); v = parent(v); end path = [source path]; return; end end end end path = []; path_flow = 0; end
function max_flow = edmonds_karp(capacity, source, sink) % 初始化剩余容量 residual_capacity = capacity; n = size(capacity, 1); max_flow = 0; while true % 使用BFS查找最短增广路径 [path, path_flow] = bfs(residual_capacity, source, sink, n); if isempty(path) break; end % 沿着路径增加流量 for i = 1:length(path) - 1 u = path(i); v = path(i + 1); residual_capacity(u, v) = residual_capacity(u, v) - path_flow; residual_capacity(v, u) = residual_capacity(v, u) + path_flow; end max_flow = max_flow + path_flow; end end
  • capacity: 表示图的容量矩阵，其中capacity(u, v)表示从节点u到节点v的边的容量。
  • source: 源点的索引。
  • sink: 汇点的索引。

求解：

1.通过最大流算法求出最大流量。(得出最大流量为14)

capacity=[ 0,9,5,0,0,0; 0,0,2,0,0,5; 0,0,0,9,0,0; 0,6,0,0,0,10; 8,0,7,0,0,0; 0,0,0,0,0,0; ]; source=5; sink=6; maxFlow = edmonds_karp(capacity, source, sink); fprintf('最大流为： %d\n', maxFlow);

2.以总费用最小作为目标函数，在保证总流量等于最大流量的条件下，以流量约束公式和流量守恒公式作为约束条件，则将数学模型具体展开如下：

​

3.使用线性规划问题的求解方法求解。(得出最小费用为205，并可得最优运输方案)

% 定义目标函数的系数向量 c = [2; 8; 5; 2; 3; 1; 4; 6; 7]; % 定义等式约束的系数矩阵和常数向量 Aeq = [1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0; 1, 0, -1, -1, 0, 0, 0, 0, 0; 0, 1, 1, 0, -1, 1, 0, 0, 0; 0, 0, 0, 1, 0, -1, 1, -1, 0; 0, 0, 0, 0, 1, 0, -1, 0, -1; 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1]; beq = [14; 0; 0;0;0;14]; % 定义变量的下界和上界 lb = [0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0]; ub = [8; 7; 5; 9; 9; 2; 6; 5; 10]; % 调用 linprog 函数求解线性规划问题 [x, fval, exitflag, output] = linprog(c, [], [], Aeq, beq, lb, ub); % 显示结果 fprintf('Optimal solution:\n');disp(x); fprintf('Optimal objective value:\n');disp(fval); fprintf('Exit flag:\n');disp(exitflag); fprintf('Output structure:\n');disp(output);

最优运输方案如下：