一、前言

传统单阶段 DEA 将生产活动视作 “黑箱”，仅能得到整体效率，无法识别前后工序的低效环节。链式两阶段 DEA 把生产拆解为原始投入 → 中间产品 → 最终产出串联流程，通过独立中间变量衔接两个子阶段，可精准定位各环节短板，在供应链、制造业、金融分支机构等领域广泛应用。

本文采用 6 组标准化 DMU 测试数据集，从线性规划理论出发手工推导效率值，同步使用 DEA Performance 软件测算投入导向、产出导向、CRS 不变规模报酬、VRS 可变规模报酬4 种组合模型，逐项对比手算与软件输出结果，验证软件两阶段模块计算准确性，为 DEA 实证研究者提供可直接复现的校验案例。

二、链式两阶段 DEA 理论模型

2.1 生产系统结构

两阶段串联生产链路：

• 阶段 1：初始投入X XX→ 中间产品Z ZZ
• 阶段 2：中间产品Z ZZ作为投入 → 最终产出Y YY

核心等式约束：第一阶段产出的中间产品总量，必须不少于第二阶段消耗的中间产品总量。

2.2 投入导向 CRS 模型

目标：固定最终产出，最小投入缩减系数θ ( 0 < θ ≤ 1 ) \theta\ (0<\theta\le1)θ(0<θ≤1)

{ ∑ j = 1 n λ j X i j ≤ θ X i 0 ∀ i ∑ j = 1 n λ j Z p j ≥ ∑ j = 1 n μ j Z p j ∀ p ∑ j = 1 n μ j Y r j ≥ Y r 0 ∀ r λ j , μ j ≥ 0 \begin{cases} \displaystyle\sum_{j=1}^n \lambda_j X_{ij} \le \theta X_{i0} \quad \forall i\\ \displaystyle\sum_{j=1}^n \lambda_j Z_{pj} \ge \sum_{j=1}^n \mu_j Z_{pj} \quad \forall p\\ \displaystyle\sum_{j=1}^n \mu_j Y_{rj} \ge Y_{r0} \quad \forall r\\ \lambda_j,\mu_j \ge 0 \end{cases}⎩⎨⎧​j=1∑n​λj​Xij​≤θXi0​∀ij=1∑n​λj​Zpj​≥j=1∑n​μj​Zpj​∀pj=1∑n​μj​Yrj​≥Yr0​∀rλj​,μj​≥0​

2.3 产出导向 CRS 模型

目标：固定原始投入，最大化产出扩张系数ϕ ( ϕ ≥ 1 ) \phi\ (\phi\ge1)ϕ(ϕ≥1)

{ ∑ j = 1 n λ j X i j ≤ X i 0 ∀ i ∑ j = 1 n λ j Z p j ≥ ∑ j = 1 n μ j Z p j ∀ p ∑ j = 1 n μ j Y r j ≥ ϕ Y r 0 ∀ r λ j , μ j ≥ 0 \begin{cases} \displaystyle\sum_{j=1}^n \lambda_j X_{ij} \le X_{i0} \quad \forall i\\ \displaystyle\sum_{j=1}^n \lambda_j Z_{pj} \ge \sum_{j=1}^n \mu_j Z_{pj} \quad \forall p\\ \displaystyle\sum_{j=1}^n \mu_j Y_{rj} \ge \phi Y_{r0} \quad \forall r\\ \lambda_j,\mu_j \ge 0 \end{cases}⎩⎨⎧​j=1∑n​λj​Xij​≤Xi0​∀ij=1∑n​λj​Zpj​≥j=1∑n​μj​Zpj​∀pj=1∑n​μj​Yrj​≥ϕYr0​∀rλj​,μj​≥0​

2.4 VRS 可变规模报酬扩展

选择 VRS 模式时，分别对两个阶段权重增加凸约束：
∑ j = 1 n λ j = 1 , ∑ j = 1 n μ j = 1 \sum_{j=1}^n \lambda_j = 1,\quad \sum_{j=1}^n \mu_j = 1∑j=1n​λj​=1,∑j=1n​μj​=1

约束后生产前沿范围扩大，计算纯技术效率，剔除规模因素干扰。

三、标准测试数据集

本次测算包含 6 个 DMU，2 项原始投入、2 项中间产品、2 项最终产出，完整原始数据如下：

四、手工线性规划演算示例（DMU1 CRS 投入导向）

4.1 求解逻辑

1. 第二阶段约束要求产出Y 1 ≥ 3 Y_1\ge3Y1​≥3、Y 2 ≥ 3 Y_2\ge3Y2​≥3，仅 DMU1 自身产出配比刚好满足，因此第二阶段最少消耗中间产品Z 1 = 1 Z_1=1Z1​=1，Z 2 = 3 Z_2=3Z2​=3；
2. 在全部 DMU 中寻找能以最少投入生产Z 1 = 1 Z_1=1Z1​=1、Z 2 = 3 Z_2=3Z2​=3的参照组合，DMU5 投入效率最优；
3. DMU5 一组投入可产出Z 1 = 3 Z_1=3Z1​=3，Z 2 = 7 Z_2=7Z2​=7，设权重a aa，满足7 a = 3 ⇒ a = 3 7 7a=3 \Rightarrow a=\frac{3}{7}7a=3⇒a=73​；
4. 计算对应投入与原始投入比值，得到效率系数。

4.2 计算过程

所需投入 1：11 × 3 7 = 33 7 11 \times \frac{3}{7} = \frac{33}{7}11×73​=733​

投入缩减比例：
θ = 33 7 14 = 33 98 ≈ 0.336735 \theta = \frac{\dfrac{33}{7}}{14} = \frac{33}{98} \approx 0.336735θ=14733​​=9833​≈0.336735

手算结果：DMU1 投入导向 CRS 效率 =0.336735

五、DEA Performance 软件全场景计算结果

场景 1：投入导向 - CRS 不变规模报酬

软件输出汇总：

场景 2：产出导向 - CRS 不变规模报酬

软件输出汇总：

场景 3：投入导向 - VRS 可变规模报酬

软件输出汇总：

场景 4：产出导向 - VRS 可变规模报酬

软件输出汇总：

六、手算与软件结果一致性验证

6.1 数值完全匹配校验

选取核心 DMU 手工求解对比：

• DMU1 投入导向 CRS：手算 0.336735 = 软件输出 0.336735
• DMU1 产出导向 CRS：手算 2.969697 = 软件输出 2.969697
• DMU1 投入导向 VRS：手算 0.785714 = 软件输出 0.785714
• DMU5 VRS 投入导向：手算 1.000000 = 软件 1.000000

全部 DMU 保留 6 位小数后，手算线性规划最优解与软件求解结果完全一致，不存在计算偏差、约束错位、公式颠倒问题。

6.2 理论特征逻辑校验

• 效率数值规律：VRS 模式效率恒大于等于同导向 CRS 效率，符合 DEA 经典 BCC/CCR 理论（VRS 生产前沿更宽松）；
• 前沿单元判定：VRS 模式下 DMU5、DMU6 投入导向效率为 1，DMU2/4/5/6 产出导向效率为 1，软件判定与理论前沿定义完全匹配；
• CRS 无天然有效单元：CRS 允许跨 DMU 组合生产，因此所有 DMU 效率均小于 1，符合模型特性。

七、DEA Performance 两阶段模型操作说明

• 数据录入规则：表格列顺序固定为 DMU 名称 → 投入指标 → 中间产品指标 → 最终产出指标；
• 参数弹窗功能：支持自定义投入、中间、产出指标数量，内置中间产品独立表格，可手动输入 / Excel 导入导出中间变量；

【截图占位 5】插入两阶段 DEA 参数设置弹窗完整截图

• 模型选择：可自由切换投入 / 产出导向、CRS 不变规模报酬 / VRS 可变规模报酬；
• 结果解读：
  • CRS 效率：综合技术效率（同时包含管理、规模两类低效）；
  • VRS 效率：纯技术效率（仅剔除规模影响，反映内部管理水平）；
  • 规模效率= CRS 效率 ÷ VRS 效率，数值小于 1 代表生产规模偏离最优区间。

八、结论

1. 通过手工线性规划完整推导验证，DEA Performance 软件链式两阶段 DEA 模块的约束条件、目标函数、规模报酬逻辑完全贴合经典理论，4 种测算场景下数值无任何误差，软件计算结果具备学术可信度；
2. 模块独立区分中间产品矩阵，链式串联约束实现规范，CRS/VRS 双模式切换功能正常，可用于制造业、供应链、金融机构等多行业两阶段效率实证研究；
3. 本文 6 组 DMU 标准数据集可作为通用校验算例，DEA 工具开发者、做效率测算的科研人员可直接复用，快速验证自研 / 商用两阶段 DEA 程序正确性。

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