为什么 x^2 + 1 可导？

对右侧函数 $g(x) = x^2 + 1$ 来说，逻辑和前面是类似的：它在 $x > 0$ 的区间内可导，是因为它属于**基本初等函数（多项式函数）**，而这类函数在各自的定义域内都是天然处处可导的。

我们可以同样从**几何直观**和**极限定义**两个维度来理解为什么它必然可导：

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#### 1. 从几何直观来看（平滑的抛物线）

$g(x) = x^2 + 1$ 的图像是一条标准开口向上的**抛物线**（顶点在 $(0, 1)$）。

* 曲线在 $x > 0$ 的区域内是非常**平滑（Smooth）**的，没有任何断裂（保证了连续性），也没有任何尖角或折点。
* 在这上面任意取一点，您都能画出一条唯一确定的、不垂直于 $x$ 轴的切线。
* 因为切线的斜率在区间内任意一点都存在且唯一，所以它在这个区间内是处处可导的。

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#### 2. 从数学定义来看（极限证明）

如果我们用导数的严格定义来计算它在任意一点 $x$ 处的导数 $g'(x)$：

$$g'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{g(x + \Delta x) - g(x)}{\Delta x}$$

将 $g(x) = x^2 + 1$ 代入公式中：

$$g'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{[(x + \Delta x)^2 + 1] - [x^2 + 1]}{\Delta x}$$

展开分子：

$$g'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{x^2 + 2x\Delta x + (\Delta x)^2 + 1 - x^2 - 1}{\Delta x}$$

消去相同的项（$x^2$ 和 $1$）：

$$g'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{2x\Delta x + (\Delta x)^2}{\Delta x}$$

分子分母同时约去 $\Delta x$（因为 $\Delta x \to 0$ 但不等于 $0$）：

$$g'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} (2x + \Delta x)$$

当 $\Delta x$ 趋近于 $0$ 时，结果就是：

$$g'(x) = 2x$$

这个极限结果 $2x$ 是一个**确定的、有限的实数**。只要 $x$ 是一个具体的数（在右侧区间内 $x > 0$），这个导数值就唯一存在。因此，根据定义，它在右侧是完全可导的。

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#### 把握书中的整体意图

书里把这两段拿出来说，意思是：
1. **左边（$x < 0$）**：是一条水平线，不用怀疑，肯定可导。
2. **右边（$x > 0$）**：是一段抛物线，不用怀疑，肯定可导。

既然左右两边各自的内部都绝对安全（可导），那么唯一的“视觉盲区”和可能出问题的地方，就只剩下 **$x = 0$ 这个拼接点**了。所以书本接下来的核心任务，就是去用极限和导数定义，单独检验在 $x = 0$ 处，左边过来的斜率（左导数）和右边过去的斜率（右导数）能不能完美对上。