伽罗瓦理论平话 引言 第一章 藏在一元二次方程里的秘密

引 言

本文以中学数学知识为基础，力求通俗而不空泛地介绍伽罗瓦理论。试图让更多的人了解并欣赏伽罗瓦的奇思妙想。

埃瓦里斯特∙伽罗瓦(Évariste Galois, 1811年10月25日-1832年5月31日)是数学史上最富传奇色彩，也最具悲剧性的天才数学家。

他最令人称叹的，是年仅17岁时便创立群论, 为近世代数奠基；最令人动容的，是他对数学那份超越生命的热爱。在那场注定致命的决斗前夜，他仍在奋笔疾书，整理论文，寄书朋友，托付数学遗产。

他创立的伽罗瓦理论，不仅彻底解决了高次多项式方程的根式解的难题，也革新了代数学的研究范式。由此将代数学从经典推向现代。

为了饱览伽罗瓦理论高峰的无限风光，咱们一起攀登吧！当你欣赏了高峰风光，回望登山路，你一定会觉得不虚此行，会从中获得一些启示。

这正是：

探群域之妙，悟对称真谛。

攀抽象之巅，观大道通天。

第 1 章 藏在一元二次方程里的秘密

——对称性初探

目录

引 言

第 1 章 藏在一元二次方程里的秘密

1.1 一元二次方程

1.2 韦达定理

1.3 应用对称性求解二次方程

1.4 一元二次方程里的秘密

1.5 对称多项式基本定理/牛顿定理

1.1 一元二次方程

大约公元前1700年，人类掌握了一元二次方程的解法，16世纪上半叶，意大利数学家找到了三次和四次方程的求根方法。

在此后将近三百年里，数学家们一直在试图攻克五次方程的根式解难题。

直到1829年5月，17岁的中学生伽罗瓦, 向法国科学院提交了有关方程根式解的论文，这道难题才得到了彻底的解决。

面对五次方程的根式解难题，伽罗瓦不是去寻找通用的根式解公式，而是深入研究根的多项式的对称性，用群表征对称性，进而以“群”和“域”为核心，创立了伽罗瓦理论。

伽罗瓦理论的一个重要推论是伽罗瓦大定理，它解决了五次及五次以上高次方程的根式解难题。

伽罗瓦大定理给出了多项式方程有根式解的充分和必要条件是其对应的伽罗瓦群是可解群。

伽罗瓦群和可解群都涉及到群的概念，要理解群论，我们可以像伽罗瓦那样，先探索根的多项式的对称性。

数学家郑乐隽说过，数学最美妙、强大，同时也是最神秘之处，在于简单的问题也能激发强大的数学思想。

让我们从简单的一元二次方程开始探索根的多项式的对称性。

对于一元二次方程

(1.1)

令b= 4,c= 1, 由配方法可得求根公式:

代入数值后得到,

由此可以看出：方程(1.1)的根可通过加、减、乘、除和开方运算求出, 这样求出的解称为根式解.

这是根式解的直观定义.

1.2 韦达定理

一元二次方程(1.1)的韦达定理为

(1.2)

(1.3)

用因式表示方程(1.1), 则有

展开并合并同类项, 便有

与方程(1.1)的系数对照, 即可得到(1.2)和(1.3).

如果再做几道有关一元二次方程的练习, 一元二次方程的内容似乎就完全掌握了.

真的如此吗？ 我们不妨多看看, 多想想. 二次方程里到底还藏着什么秘密?

请特别留意(1.2), (1.3)的形式. 你是否从中看到了根的多项式的对称性? 是否注意到了方程(1.1)的系数是有理数, 根却是无理数?

1.3 应用对称性求解二次方程

二次方程(1.1)还可以这样求解

(1.4)

即,

(1.5)

利用韦达定理的(1.2)和(1.3)式, 可以将根的有理函数

(1.6)

表示为系数的有理函数

对(1.5)式两边开方, 取正根可得到：

(1.7)

联立(1.2)与(1.7)式, 则有方程组：

(1.2)

(1.7)

应用加减消元法, 同样得到：

小结: 与配方法不同，应用对称性求解方程的方法从原方程的未知根着手, 列出根的一次多项式和二次多项式, 然后利用韦达定理求解.

与配方法相比，这种方法揭示了一元二次方程里隐藏的一些秘密. 下面揭示这些秘密.

1.4 一元二次方程里的秘密

(1)对称性

日常生活中, 我们熟悉的是眼睛、耳朵这种几何上的左右对称. 而在二次方程中, 隐藏着抽象的“代数对称”. 比如, 在多项式 x₁+x₂, x₁x₂, (x₁-x₂)² 中,对换两个根x₁, x₂的位置, 结果仍然不变, 即

它们都是对称多项式.

然而, 对于来说, 对换和的位置, 则有,

这说明x₁ -x₂不具备对称性, 它不是对称多项式.

后面将会看到，正是这种对称与不对称及相互转换关系, 构成了分析、解构、求解方程根的关

(2)数域变大

简单地说, 有理数集Q中任意两个数的和、差、积、商(除数不能为0)仍在有理数集Q中, 则称数集Q为有理数域, 仍然记为Q.

如, a+b√3这样的数也可以构成域Q(√3), 其中a,b在有理数域Q中. 域Q(√3)比有理数域Q大, 比实数域R小.

对于方程(1.1)，系数1, 4 ,1在有理数域Q中, 根x₁，x₂在数域Q(√3)中, 数域Q(√3)比有理数域Q变大了. 有理数域Q中添加了√3扩大到数域Q(√3).在其中允许√3与自身及所有有理数进行加、减、乘、除运算，运算结果仍在数域Q(√3)中，且具有a+b√3的形式.

在这里, 我们举例说明了“扩域”，在第四章将予以详细介绍.

(3)分圆方程

分圆方程在方程求解中具有十分重要的作用, 在此作初步介绍.

此方程的两个根分别是1和-1. 二者在直角坐标系中半径为1的单位圆周上, 左右对称, 而且等分单位圆为两部分, 顾名思义，称为二次分圆方程.

(4) 一次方程组

有趣的是, 二次分圆方程

的两个根1，-1与等式(1.7)中x₁,x₂的系数相同:

如果用1, -1作方程(1.1)根x₁,x₂的系数, 可得到方程(eq1); 用-1, 1作x₁,x₂的系数, 可得到方程(eq2), 它们可组合成一次方程组：

(eq1)

(eq2)

这两个方程成比例, 比例系数为-1, 有(eq1) = - (eq2)，是同解方程. 因此(eq1)与(eq2)不是相互独立的.

对同解方程，取其中的一个方程(eq1), 它与方程(1.2)组合, 可得到和1.3节同样的方程组:

(1.2)

(eq1)

显然, 根据这个一次方程组也可以解出方程的两个根.

其实, 这种方法与下一节介绍的拉格朗日预解法有密切关系. 这些秘密还会在后面的相关章节更详细地介绍.

1.5 对称多项式基本定理/牛顿定理

重写(1.4)式如下

其中,是对称多项式,是初等对称多项式.

由上式可引出对称多项式基本定理, 也称为牛顿定理.

定理1对称多项式基本定理

对称多项式可以用初等对称多项式唯一表示.

因为根的初等对称多项式又可以用方程的系数表示, 所以,根的对称多项式总可以由系数多项式表示.

有了对称多项式基本定理, 我们再回过头来总结1.3节的一元二次方程的解法。

尽管x₁ ,x₂是未知的,x₁ -x₂也是未知的, 可以对x₁-x₂平方, 得到(x₁ -x₂)².然后应用对称性求解, 即

两边开方可得

基本定理的重要性从这里就体现出来了. 对称多项式可以用初等对称多项式表示. 最终, 可由系数多项式表示.

另外, 扩域(域变大)常常会发生在这里.

下一章，我们应用拉格朗日预解法求解一元三次方程, 并进一步深入分析方程的根多项式的对称性，然后，一步一步去理解伽罗瓦理论.

拉格朗日(Joseph-Louis Lagrange, 1736—1813)是欧拉之后高斯之前最伟大的数学家. 他应用拉格朗日预解法, 统一地解决了二次、三次、四次方程的根式解问题. 但他在五次方程面前却束手无策.

那什么是拉格朗日预解法?主要思想是什么？成功和局限性又是什么？

下一章“拉格朗日的花明柳暗”将回答这些问题.