线代第三章向量第一节：n维向量及其运算

n 维向量及其运算

n 维向量是线性代数的核心基础概念之一，也是 AI 领域中数据表示、特征提取、模型计算的核心载体（例如机器学习中用 n 维向量表示样本的特征）。以下从定义、核心运算、运算性质、应用场景四个维度展开，结合推导和示例进行详细讲解。

一、n 维向量的定义

1. 基本定义

由 n 个实数a1​,a2​,…,an​ 组成的有序数组，称为n 维实向量，记作：

• 前者称为n 维列向量（默认形式，与矩阵运算兼容性更好）；
• 后者称为n 维行向量（列向量的转置）；
• ai​ 称为向量 α 的第 i 个分量（或坐标）。

2. 特殊向量

3. 向量相等的条件

两个 n 维向量 α=(a1​,a2​,…,an​)T 和 β=(b1​,b2​,…,bn​)T 相等，当且仅当对应分量全部相等，即：

二、n 维向量的核心运算

n 维向量的运算分为 ** 线性运算（加法、数乘）和非线性运算（内积、范数）** 两大类，其中线性运算是向量空间的基础，内积和范数则是度量向量关系的核心工具。

1. 线性运算：加法与数乘

（1）向量加法

定义：设两个 n 维列向量 α=(a1​,a2​,…,an​)T，β=(b1​,b2​,…,bn​)T，则它们的和为：

（3）线性运算的性质

设 α,β,γ 为 n 维向量，k,l 为实数，则满足以下 8 条运算律（构成向量空间的核心条件）：

1. 交换律：α+β=β+α
2. 结合律：(α+β)+γ=α+(β+γ)
3. 零向量存在：α+0=α
4. 负向量存在：α+(−α)=0
5. 数乘单位律：1⋅α=α
6. 数乘结合律：k(lα)=(kl)α
7. 数乘分配律 1：k(α+β)=kα+kβ
8. 数乘分配律 2：(k+l)α=kα+lα