【题目来源】
AcWing：1171 距离 - AcWing题库
【题目描述】
给出 \(n\) 个点的一棵树，多次询问两点之间的最短距离。
注意：
- 边是无向的。
- 所有节点的编号是 \(1,2,\dots,n\)。
【输入】
第一行为两个整数 \(n\) 和 \(m\)。\(n\) 表示点数，\(m\) 表示询问次数；
下来 \(n-1\) 行，每行三个整数 \(x,y,k\)，表示点 \(x\) 和点 \(y\) 之间存在一条边长度为 \(k\)；
再接下来 \(m\) 行，每行两个整数 \(x,y\)，表示询问点 \(x\) 到点 \(y\) 的最短距离。
树中结点编号从 \(1\) 到 \(n\)。
【输出】
共 \(m\) 行，对于每次询问，输出一行询问结果。
【输入样例】
2 2
1 2 100
1 2
2 1
【输出样例】
100
100
【核心思想】
-
问题分析：给定一棵包含 \(n\) 个节点的带权树，边是无向的，有 \(m\) 个询问，每个询问给出节点对 \((x, y)\)，需要求两点之间的最短距离。这是一个树上距离查询问题，可以利用最近公共祖先（LCA）的性质求解：\(dist(x, y) = dist(x, root) + dist(y, root) - 2 \times dist(LCA(x, y), root)\)。
-
算法选择：
- Tarjan 离线 LCA 算法：在 DFS 过程中利用并查集维护当前搜索路径上的祖先信息，同时处理与当前节点相关的所有询问
- DFS 预处理距离：从根节点出发进行 DFS，计算每个节点到根节点的距离 \(dist[]\)
- 并查集维护祖先：\(p[x]\) 表示节点 \(x\) 在当前搜索路径上的祖先（即 DFS 树中的父节点）
- 离线处理询问：将所有询问保存下来，在 DFS 过程中当两个节点都访问过时即可计算答案
-
关键步骤：
- 建树：读入 \(n-1\) 条边 \((x, y, k)\)，使用邻接表存储带权树
- 保存询问：对于每个询问 \((a, b)\)，将 \((b, id)\) 加入 \(query[a]\)，将 \((a, id)\) 加入 \(query[b]\)（\(id\) 为询问编号）
- DFS 预处理距离：从根节点（节点 \(1\)）开始 DFS，计算 \(dist[u]\) 表示 \(u\) 到根的距离：
dist[j] = dist[u] + w - Tarjan LCA（DFS 过程中）：
- 标记 \(st[u] = 1\)（正在访问）
- 递归访问所有未访问的子节点 \(j\)，访问完后设置 \(p[j] = u\)（并查集合并）
- 标记 \(st[u] = 2\)（已访问且回溯）
- 处理询问：遍历 \(query[u]\) 中所有与 \(u\) 相关的询问 \((y, id)\)：
- 若 \(st[y] == 2\)（\(y\) 已访问且回溯），则 \(LCA(u, y) = find(y)\)
- 计算答案：\(res[id] = dist[u] + dist[y] - 2 \times dist[LCA]\)
- 输出结果：按询问编号输出所有答案
-
时间/空间复杂度：
- 时间复杂度：\(O(n + m)\)，DFS 遍历 \(O(n)\)，并查集操作近似 \(O(1)\)，处理每个询问 \(O(1)\)
- 空间复杂度：\(O(n + m)\)，邻接表 \(O(n)\)，询问存储 \(O(m)\)，并查集、距离数组、标记数组各 \(O(n)\)
- 适用于离线查询场景（所有询问已知）
-
Tarjan 离线 LCA 的核心思想：
- 离线处理：一次性读入所有询问，在 DFS 过程中统一处理
- 并查集维护祖先：\(p[x]\) 始终指向 \(x\) 在当前 DFS 路径上的祖先，利用并查集路径压缩快速查询
- 访问状态标记：\(st[u] = 0/1/2\) 分别表示未访问/正在访问/已访问且回溯，只有已回溯的节点才能确定 LCA
- LCA 判定：当处理节点 \(u\) 的询问 \((u, y)\) 时，若 \(y\) 已回溯，则 \(LCA(u, y) = find(y)\)，即 \(y\) 在当前 DFS 路径上的祖先
- 树上距离公式：利用 LCA 将两点距离转化为到根距离的组合：\(dist(x, y) = dist(x) + dist(y) - 2 \times dist(LCA)\)
- 适用场景：离线查询、需要批量处理多个 LCA 询问的问题
【解题思路】
【算法标签】
最近公共祖先
【代码详解】
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100005, M=N*2, INF=1e9;
typedef pair<int, int> PII;
int n, m; //n节点数，m询问数
struct Edge {int b, w; //点a到点b有边，权值w
};
vector<Edge> g[N]; //图的邻接表表示，g[i]表示点i到b有边，权值wint p[N]; //p[y]:点y的根
int res[N]; //res[i] 第i个询问结果
int dist[N]; //每个点和1号点的距离
int st[N]; //节点DFS访问类型 2-访问且回溯 1-当前访问 0-没访问
//query[i][first][second] 存查询当前节点i的另一个点是first，second存查询编号
vector<PII> query[N]; //保存查询信息//求每个点和1号点（根节点）的距离dist，深搜。u, fa当前节点及其父节点
void dfs(int u, int fa)
{for (int i=0; i<g[u].size(); i++) { //遍历u的儿子jEdge nd=g[u][i];int j=nd.b, dis=nd.w;if (j==fa) continue; //u的邻接点是其父节点dist[j]=dist[u]+dis;dfs(j,u); //深搜求其他节点到根的距离}
}int find(int x) //找x的根
{if (p[x]!=x) p[x] = find(p[x]);return p[x];
}//Tarjan求LCA，u当前节点，从根节点开始深搜
void Tarjan(int u)
{st[u]=1; //正在搜索的类型 1for (int i=0; i<g[u].size(); i++) { //遍历u的儿子jEdge nd = g[u][i];int j=nd.b, dis=nd.w;if (st[j]==0) { //点j没被访问，深搜访问Tarjan(j);p[j]=u; //指定儿子j的父亲是u}}st[u]=2; //u为根的子树访问结束，再回溯到u，标记节点u已经访问+回溯for (int i=0; i<query[u].size(); i++) { //与当前节点相关的询问PII item = query[u][i];int y = item.first; //当前节点u的另外一个点y，second存查询编号int id = item.second;if (st[y]==2) { //另外一个点y已经访问且回溯int ans = find(y); //前结点u的另外一个点y的LCAres[id] = dist[u]+dist[y]-2*dist[ans];}}
}
int main()
{cin >> n >> m; //n节点数，m询问次数for (int i=1; i<n; i++) { //n-1条边int a, b, c;cin >> a >> b >> c;g[a].push_back({b,c}); //建邻接表，点a到点b有边，权值1g[b].push_back({a,c}); //建邻接表}for (int i=1; i<=m; i++) { //保存查询信息int a, b;cin >> a >> b;if (a!=b) { //如果a=b距离就是0，不处理//query[a][first][second] 存查询当前节点a的另外一个点是b，第i个查询query[a].push_back({b,i});query[b].push_back({a,i});}}for (int i=1; i<n; i++) p[i]=i; //初始化并查集每个父节点是它自己dfs(1, -1); //求每个点和点1（根节点）的距离dist；<当前节点,其父节点>Tarjan(1); //Tarjan求LCA，深搜点1（根节点）for (int i=1; i<=m; i++)cout << res[i] << endl;return 0;
}
// 使用链式前向星再写一遍
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=20010, M=N*2, INF=1e9;
typedef pair<int, int> PII;
int n, m; //n节点数，m询问数
int h[N], e[M], w[M], ne[M], idx; //邻接表
int p[N]; //p[y]:点y的根且该根在当前搜索路径上的点
int res[N]; //res[i] 第i个询问结果
int dist[N]; //每个点和1号点的距离
int st[N]; //节点DFS访问类型 2-访问且回溯 1-当前访问 0-没访问
//query[i][first][second] 存查询当前节点i的另一个点是first，second存查询编号
vector<PII> query[N]; //保存查询信息void add (int a, int b, int c) //建邻接表
{e[idx]=b, w[idx]=c, ne[idx]=h[a], h[a]=idx, idx++;
}//求每个点和1号点（根节点）的距离dist，深搜。u, fa当前节点及其父节点
void dfs(int u, int fa)
{for (int i=h[u]; i!=-1; i=ne[i]) { //遍历u的儿子jint j=e[i];if (j==fa) continue; //u的邻接点是其父节点dist[j]=dist[u]+w[i];dfs(j,u); //深搜求其他节点到根的距离}
}int find(int x) //找x的根
{if (p[x]!=x) p[x] = find(p[x]);return p[x];
}//Tarjan求LCA，u当前节点，从根节点开始深搜
void Tarjan(int u)
{st[u]=1; //正在搜索的类型 1for (int i=h[u]; i!=-1; i=ne[i]) { //遍历u的儿子jint j=e[i];if (st[j]==0) { //点j没被访问，深搜访问Tarjan(j);p[j]=u; //指定儿子j的父亲是u}}st[u]=2; //u为根的子树访问结束，再回溯到u，标记节点u已经访问+回溯for (int i=0; i<query[u].size(); i++) { //与当前节点相关的询问PII item = query[u][i];int y = item.first; //当前节点u的另外一个点y，second存查询编号int id = item.second;if (st[y]==2) { //另外一个点y已经访问且回溯int ans = find(y); //前结点u的另外一个点y的LCAres[id] = dist[u]+dist[y]-2*dist[ans];}}
}
int main()
{cin >> n >> m; //n节点数，m询问次数memset(h, -1, sizeof(h));for (int i=1; i<n; i++) { //n-1条边int a, b, c;cin >> a >> b >> c;add(a, b, c), add(b, a, c); //建邻接表}for (int i=1; i<=m; i++) { //保存查询信息int a, b;cin >> a >> b;if (a!=b) { //如果a=b距离就是0，不处理//query[a][first][second] 存查询当前节点a的另外一个点是b，第i个查询query[a].push_back({b,i});query[b].push_back({a,i});}}for (int i=1; i<n; i++) p[i]=i; //初始化并查集每个父节点是它自己dfs(1, -1); //求每个点和点1（根节点）的距离dist；<当前节点,其父节点>Tarjan(1); //Tarjan求LCA，深搜点1（根节点）for (int i=1; i<=m; i++)cout << res[i] << endl;return 0;
}
【运行结果】
2 2
1 2 100
1 2
2 1
100
100