2026 数学新高考一卷 19 题（不会做）

已知函数 \(f(x)\) 的定义域为 \(\mathbb{R}\)，且当 \(x<0\) 时，\(f(x)=2^x\)，对任意 \(x_0\in\mathbb{R}\)，定义集合 \(D(x_0)=\{d\in\mathbb{R}|f(x_0+d)>f(x_0)\}\)。

1. 若当 \(x\ge 0\) 时，\(f(x)=1-x\)，求 \(D(-1)\)；
2. 若 \(f(x)\) 是奇函数，\(f(x_1)\le f(x_2)\)，且 \(x_1x_2\neq 0\)，证明：\(D(x_2)\subseteq D(x_1)\)；
3. 设 \(f(x)\) 满足：1. 若 \(f(x_1)\le f(x_2)\)，则 \(D(x_2)\subseteq D(x_1)\)；2. 当 \(0<x<1\) 时，\(f(x)<f(0)\)。
   i. 证明：\(f(0)\ge 1\)；
   ii. 证明：\(f(x)\) 在区间 \((0,+\infty)\) 单调递增。

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\(1\).
\(D(-1)=\left(0,\dfrac32\right)\)。

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\(2\).
略

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\(3\).

i.
假设 \(f(0)<1\)，则 \(\exist x_0<0\)，\(f(x_0)=f(0)\)。

由于 \(\forall 0<x<1\)，\(f(x)<f(0)\)，所以 \(D(0)\cap (0,1)=\varnothing\)。

而 \((0,-x_0)\subseteq D(x_0)\)，所以 \(D(x_0)\not\subseteq D(0)\)。

又有 \(f(0)\le f(x_0)\)，所以 \(D(x_0)\subseteq D(0)\)，矛盾，故 \(f(0)\ge 1\)。

ii.
不会做