数学每日?题

遇到一些比较好的题会进行收录。范围：我会的知识点。

已知二次函数 \(f(x)=ax^2+bx+c(b>a)\) 满足 \(\forall x \in \mathbb{R}, f(x) \ge 0\) 恒成立，求 \(\dfrac{b - a}{a + b + c}\) 的最大值。

已知的条件如下：

  1. \(a > 0\)
  2. \(\Delta = b^2 - 4ac \le 0\)
  3. \(b > a\)

尝试消掉 \(c\): \(b^2 \le 4ac \Rightarrow c \ge \frac{b^2}{4a}\)

\[\dfrac{b - a}{a + b + c} \le \dfrac{b - a}{a + b + \frac{b^2}{4a}} = \dfrac{4a(b - a)}{4a^2 + 4ab + b^2} = \dfrac{4a(b - a)}{(2a+b)^2} \]

有一个 trick 叫分子常数化，具体见下：

\[\dfrac{4a(b - a)}{(2a+b)^2}=\dfrac{4a(b - a)}{[b-a + 3a]^2} \le \dfrac{4a(b - a)}{[2\sqrt{3a(b-a)}]^2} = \dfrac{4a(b - a)}{[12a(b-a)} = \dfrac{1}{3} \]

当且仅当 \(3a = b - a, c = \frac{b^2}{4a}\) 即 \(b = c = 4a\) 时取等。

Bonus: 求 \(\dfrac{x^2-x+1}{x^2+2x+4}\) 的最小值：
同样要"分子常数化"：

\[\dfrac{x^2-x+1}{x^2+2x+4}=\dfrac{x^2-x+1}{x^2-x+1+3x+3}=\dfrac{1}{1+3\dfrac{x+1}{x^2-x+1}}=\dfrac{1}{1+3\dfrac{1}{(x+1)+\dfrac{3}{x+1}-3}} \ge 4 - 2\sqrt 3 \]