【技术美术】切线空间
切线空间是利用顶点法线、切线构成的以顶点方向为坐标系的3D空间，用于实现法线贴图、视差贴图等技术。
切线空间基向量
切线空间的三个基向量为：
- z轴：法线（normal）
- x轴：切线（tangent）
- y轴：副切线（bitangent）
法线
没有什么特殊的地方，因为这是由用户自己定义的顶点正前方，一般指向模型外侧。
切线
由系统计算的顶点左侧方向。具体而言，顶点的左侧与其使用的uv（纹理空间）的u方向一致。切线虽然也是代表一个方向，但其是一个四分量向量，其中w分量用于解决下文副切线手系的问题，当切线由Unity生成时，其w默认为-1。
副切线
利用法线和切线叉乘计算的第三个方向，其与顶点uv（纹理空间）的v方向一致。由于纹理空间存在“OpenGL”和“DX”两种手系，故副切线也有两种计算方法。
切线空间与纹理空间
和法线不同，切线是由软件基于uv分布自动生成的。具体而言切线方向对应纹理的x轴方向（u方向），副切线对应纹理的y轴方向（v方向）。故切线空间和纹理空间是可以相互转换的，这点在“视差贴图”功能中就得到了应用。
但要注意的是，纹理空间是存在左右手两种的，也因此导致“切线空间”和“法线贴图”也存在两种：“DX”（左手系）和“OpenGL”（右手系）。
切线空间手系
切线空间存在左右手两种手系，手系的不同直接影响到法线贴图的数据布局。Unity 中采用的 OpenGL 的右手坐标系，故从模型内部向外看，切线在其左侧，副切线在其上方。
从贴图角度来看，当贴图内容是一个凹槽时，其凹槽图案的下方为绿色。因为从贴图角度看凹槽，下方的法向应该是向上的，故y轴值较大，表现为绿色。
或许是为了解决当网格自带切线时，其为非右手坐标系的问题，Unity为切线增加了额外的分量来决定是否反转副切线，从而统一手系。不过要注意的是：Unity默认计算切线的叉乘方式是法线在左，切线在右，因此计算出的副切线总是负的，所以通常 tangent.w = -1。
由此我们便可以得出副切线的计算方法：
float3 bitangent = cross(normal, tangent.xyz) * tangent.w;
物体到世界空间
法线、切线来自模型顶点，因此默认是基于物体空间的，但进行方向计算时通常基于世界空间，因此需要对原始的顶点法线、切线进行空间变化。
针对向量（有距离的方向）的变换很容易，只要移除掉 TRS 矩阵中 T 的部分就行，即由 float4x4 强转为 float3x3 即可。但对切线空间的基向量来说，还有一个额外要保证其正交性的限制（否则类似光斑计算会出问题）。
正交性有两点要处理：
- 保证所有基向量归一化
- 保证所有基向量相互垂直
物体到世界矩阵是 TRS 矩阵，其中 T 已经被我们剔除，剩下 R、S 矩阵。由“TRS矩阵-旋转矩阵求逆”一节可知，R 矩阵是正交矩阵，因此不用担心其影响。但 S 矩阵并不是，首先其本身可以缩放向量距离，而且如果是非均一化缩放，还会破坏向量间的角度。
通过上面的图片示意，我们可以清晰看到非均一化缩放对法线和切线的影响：
- 对于切线：其距离会受影响，但方向依旧正确（仍保持在模型表面），故只要考虑归一化即可。
- 对于切线：其距离会受影响，且方向错误（不再垂直模型表面），故需要考虑归一化和垂直两个问题。
基向量归一化
对于归一化很好处理，变换后进行归一化即可，恰巧因为光栅化的缺陷，法线这些本来也是要归一化的。
float3 normalWS = normalize(normalWS);
float3 tangentWS = normalize(tangentWS);
float3 bitangentWS = normalize(bitangentWS);
基向量相互垂直
副切线是由法线和切线叉乘出来的所以肯定是垂直的不用担心。切线则根据上图可以发现，经过非正交变换后虽然方向变化，但依旧保持在模型表面，符合其设定，故也不用考虑。最终唯一需要考虑的就是法线。
现已知切线变化后的方向是正确的。设切线为 \(T\)，法线为 \(N\)；\(M,G\) 则分别是切线和法线的变换空间。
\(\because\) 变换后的法线也与切线垂直
\(\therefore\) \(GN \cdot MT = 0\)
点乘可以看成是行向量和列向量的矩阵乘法，故 \(GN\cdot MT\) 可以用矩阵运算的形式进行变形。
\( \begin{aligned} & GN\cdot MT \\ &= (GN)^T(MT) \\ &= (N^TG^T)(MT)\\ &= N^T(G^TM)T \end{aligned}\ \)
于是可得：
\(N^T(G^TM)T = 0\)
其中已知 \(N^TT = N \cdot T = 0\)，故为了让 \(N^T(G^TM)T = 0\) 成立，\(G^TM\) 应等于 \(I\) （\(I\) 表示单位矩阵），故可列出公式：
\( \begin{aligned} G^TM &= I\\ G^T &= M^{-1} \\ G &= (M^{-1})^T \end{aligned} \)
因此法线的变换矩阵应等于切线变换矩阵的逆矩阵的转置。
实现物体到世界变换
综上所属，解决了正交问题后，便可以写出切线空间基向量由物体空间到世界空间的变换过程了。
- 切线：使用常规的物体到世界矩阵即可，因为这会保持切线的方向正确。
- 法线：需要使用切线变换矩阵的逆矩阵的转置矩阵，来维持方向正确性。
- 副切线：使用切线和法线叉乘计算即可。
float3 tangentWS = mul((float3x3)GetObjectToWorldMatrix(), tangentOS.xyz);
float3 normalWS = mul(normalOS, (float3x3)GetWorldToObjectMatrix());
float3 bitangentWS = cross(normalWS, tangentWS) * tangentOS.w;
提示：上述法线变换用到了一个小技巧，要知道 mul 是可以交换矩阵和向量参数顺序的，这样就变成了行向量和行矩阵的计算。而因为行矩阵和列矩阵正好是相互转置的关系，所以可以利用这一机制，省去推导中转置矩阵的操作，直接计算。
构建切线空间
有了上述计算的3个切线空间基向量，我们便可以得出最终的切线空间矩阵：
float3x3 tangentToWorld = transpose(float3x3(tangentWS, bitangentWS, normalWS));
提示：hlsl 默认是基于行矩阵的，所以其矩阵赋值也是按行赋值，而数学上是基于列矩阵的（矩阵在左，向量在右），所以按行赋值构建出行矩阵后需要再进行一步转置操作，使其成为列矩阵。
或者不转置，后面直接按行矩阵的方法用也行，Unity就是这么干的：
float3x3 worldToTangent = float3x3(tangentWS, bitangentWS, normalWS);
float3 normal = mul(normalTS, worldToTangent); //实现切线空间向量转世界空间
提示：切线空间是正交矩阵，故其转置就是其逆矩阵。