高等代数 -- 特征值与特征向量

目录

• 定义
• 特征多项式与迹
• 例题与应用
  • 例1
  • 例2
  • 例3
  • 例4
  • 例5

关于特征值与特征向量，以几何空间举例，线性代换如果说是对空间的扭曲、旋转、放缩，那么在这个过程中存在一种特殊的向量，这种向量在线性变换作用前后在同一条直线上，线性变换对这一类的向量仅仅起到放缩的作用，这类向量称作特征向量，其中的放缩程度称作特征值。

定义

即设\(\mathscr{A}\)是数域\(P\)上线性空间\(V\)的一个线性变换，选择基\(\vec{\epsilon_1}\cdots\vec{\epsilon_n}\)，如果对于数域\(P\)中一数\(\lambda_0\)，存在一个非零向量\(\vec{\xi}\)，使得

\[\mathscr{A}\vec{\xi}=\lambda_0\vec{\xi}\tag{1} \]

那么\(\lambda_0\)称为\(\mathscr{A}\)的一个特征值，而\(\vec{\xi}\)称为\(\mathscr{A}\)的属于特征值\(\lambda_0\)的一个特征向量。

设\(A\)是数域\(P\)上一\(n\)阶矩阵，\(\lambda\)是一个未知量，矩阵\(\lambda E-A\)的行列式

\[|\lambda E-A|= \begin{vmatrix} \lambda-a_{11} & -a_{12} & \cdots & -a_{1n}\\ -a_{21} & \lambda-a_{22} & \cdots & -a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ -a_{n1} & -a_{n2} & \cdots & \lambda-a_{nn} \end{vmatrix} \tag{2} \]

称为\(A\)的特征多项式，这是数域\(P\)上的一个\(n\)次多项式。

对于线性变换\(\mathscr{A}\)的任一特征值\(\lambda_0\)，全部适合条件

\[\mathscr{A}\vec{\alpha}=\lambda_0\vec{\alpha} \]

的向量\(\vec{\alpha}\)所成的集合，也就是\(\mathscr{A}\)的属于\(\lambda_0\)的全部特征向量再加上零向量所成的集合，是\(V\)的一个子空间，称为\(\mathscr{A}\)的一个特征子空间，记为\(V_{\lambda_0}\)。显然，\(V_{\lambda_0}\)的维数就是属于\(\lambda_0\)的线性无关的特征向量的最大个数，用集合记号可记为

\[V_{\lambda_0}=\{\vec{\alpha}\mid \mathscr{A}\vec{\alpha}=\lambda_0\vec{\alpha},\vec{\alpha}\in V\} \]

特征多项式与迹

在线性变换的研究中，矩阵的特征多项式是重要的。对于其系数

\[|\lambda E-A|= \begin{vmatrix} \lambda-a_{11} & -a_{12} & \cdots & -a_{1n}\\ -a_{21} & \lambda-a_{22} & \cdots & -a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\ -a_{n1} & -a_{n2} & \cdots & \lambda-a_{nn} \end{vmatrix} \]

的展开式中，有一项是主对角线上元素的连乘积

\[(\lambda-a_{11})(\lambda-a_{22})\cdots(\lambda-a_{nn}) \]

展开式中的其余各项，至多包含\(n-2\)个主对角线上的元素，它对\(\lambda\)的次数最多是\(n-2\)。因此特征多项式中含\(\lambda\)的\(n\)次与\(n-1\)次的项只能是主对角线上元素的连乘积中出现，它们是

\[\lambda^n-(a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn})\lambda^{n-1} \]

在特征多项式中令\(\lambda=0\)，即得常数项\((-1)^n|A|\)。

因此，如果只写出特征多项式的前两项与常数项，就有

\[|\lambda E-A|=\lambda^n-(a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn})\lambda^{n-1}+\cdots+(-1)^n|A|\tag{3} \]

如\(|\lambda E-A|\)在数域\(P\)上能分解为一次因式的乘积，由根与系数的关系可知，\(A\)的全体特征值的和为\(a_{11}+a_{22}+\cdots+a_{nn}\)（称为\(A\)的迹，记为\(\operatorname{tr} A\)），而\(A\)的全体特征值的积为\(|A|\)。

例题与应用

例1

在\(n\)维线性空间中，数乘变换\(\mathscr{K}\)在任意一组基下的矩阵都是\(k\cdot E\)，它的特征多项式是

\[|\lambda E-kE|=(\lambda-k)^n \]

因此，数乘变换\(\mathscr{K}\)的特征值只有\(k\)，并且由定义可知，每个非零向量都是属于数乘变换\(\mathscr{K}\)的特征向量。

例2

设线性变换\(\mathscr{A}\)在基\(\vec{\epsilon_1},\vec{\epsilon_2},\vec{\epsilon_3}\)下的矩阵是

\[A= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2\\ 2 & 1 & 2\\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix} \]

求\(\mathscr{A}\)的特征值与特征向量。

因为特征多项式为

\[|\lambda E-A|= \begin{vmatrix} \lambda-1 & -2 & -2\\ -2 & \lambda-1 & -2\\ -2 & -2 & \lambda-1 \end{vmatrix} =(\lambda+1)^2(\lambda-5) \]

所以特征值是\(-1\)（二重）和\(5\)。把\(-1\)代入齐次线性方程组

\[\begin{cases} (\lambda-1)x_1-2x_2-2x_3=0,\\ -2x_1+(\lambda-1)x_2-2x_3=0,\\ -2x_1-2x_2+(\lambda-1)x_3=0, \end{cases} \]

得到

\[\begin{cases} -2x_1-2x_2-2x_3=0,\\ -2x_1-2x_2-2x_3=0,\\ -2x_1-2x_2-2x_3=0. \end{cases} \]

它的基础解系是

\[\begin{bmatrix}1\\0\\-1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\1\\-1\end{bmatrix} \]

因此，属于\(-1\)的两个线性无关的特征向量就是

\[\vec{\xi_1}=\vec{\epsilon_1}-\vec{\epsilon_3},\quad \vec{\xi_2}=\vec{\epsilon_2}-\vec{\epsilon_3} \]

而属于\(-1\)的全部特征向量就是\(k_1\vec{\xi_1}+k_2\vec{\xi_2}\)，\(k_1,k_2\)是数域\(P\)中不全为零的任意数。再把特征值\(5\)代入，得到

\[\begin{cases} 4x_1-2x_2-2x_3=0,\\ -2x_1+4x_2-2x_3=0,\\ -2x_1-2x_2+4x_3=0. \end{cases} \]

它的基础解系是

\[\begin{bmatrix}1\\1\\1\end{bmatrix} \]

因此，属于\(5\)的一个线性无关的特征向量就是

\[\vec{\xi_3}=\vec{\epsilon_1}+\vec{\epsilon_2}+\vec{\epsilon_3} \]

而属于\(5\)的全部特征向量就是\(k\vec{\xi_3}\)，\(k\)是数域\(P\)中不等于零的任意数。

例3

在空间\(P[x]_n\)中，线性变换

\[\mathscr{D}=f'(x) \]

在基\(1,x,\frac{x^2}{2!},\cdots,\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}\)下的矩阵是

\[D= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \end{bmatrix} \]

\(D\)的特征多项式是

\[|\lambda E-D|= \begin{vmatrix} \lambda & -1 & 0 & \cdots & 0 & 0\\ 0 & \lambda & -1 & \cdots & 0 & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda & -1\\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda \end{vmatrix} =\lambda^n \]

因此，\(D\)的特征值只有\(0\)，通过解相应的齐次线性方程组可知，属于特征值\(0\)的线性无关的特征向量只能是任一非零常数，这表明微商为\(0\)的多项式只能是零或非零的常数。

线性变换\(\mathscr{D}\)会将\(P[x]_n\)的维度进行降低，以几何空间为例的话，就是将空间压缩了一个维度，在此类的线性变换中，只有常数项的多项式（向量）才能保持方向不变。

例4

平面上全体向量构成实数域上一个二维线性空间，对二维空间逆时针旋转\(\theta\)的线性变换\(\mathscr{L}_{\theta}\)在直角坐标系下的矩阵为

\[\begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix} \]

它的特征多项式为

\[\begin{vmatrix} \lambda-\cos\theta & \sin\theta\\ -\sin\theta & \lambda-\cos\theta \end{vmatrix} =\lambda^2-2\lambda\cos\theta+1 \]

当\(\theta\ne k\pi\)时，这个多项式没有实根。因此，当\(\theta\ne k\pi\)时，\(\mathscr{L}_{\theta}\)没有特征值。从几何上看，这个结论是很明显的。

例5

矩阵及其特征值在图论中的应用。对于有向图\(G\)，\(v_1,v_2,v_3\)是三个顶点，\(\vec{v_1v_2},\vec{v_2v_1},\vec{v_3v_1},\vec{v_2v_3},\vec{v_3v_2}\)为有向边，这个图的顶点和有向边的状况可用一个\(3\times3\)的矩阵\(A=(a_{ij})_{3\times3}\)来描述，若\(v_i,v_j\)之间有有向边\(\vec{v_iv_j}\)，则令\(a_{ij}=1\)，否则令\(a_{ij}=0\)，这个矩阵\(A\)称为有向图的邻接矩阵

\[A= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix} \]

若有几条边，依次地前一边地终点与它后面的边的起点一致，把它依同一顺序连接起来就是一条线路，简称为路。例\(\vec{v_1v_2},\vec{v_2v_3};\vec{v_3v_1},\vec{v_1v_2},\vec{v_2v_3}\)分别是长为\(2\)和\(3\)的路。第二条路中的起点和终点一致，称为回路，它与\(\vec{v_1v_2},\vec{v_2v_3},\vec{v_3v_1}\)在几何上是同一个圈图，但起点、终点不同，是不同的回路。\(\vec{v_1v_2}\)单独一条有向边，是长为\(1\)的路。

从\(v_i\)到\(v_j\)的长为\(k\)的路（可以\(i=j\)，这时是回路）有几条？

设一个有向图有\(n\)个顶点\(v_1,v_2,\cdots,v_n\)，它的邻接矩阵\(A=(a_{ij})_{n\times n}\)，令\(A^k=(b_{ij})_{n\times n}\)，则从\(v_i\)到\(v_j\)的长为\(k\)的路的数目是\(b_{ij}\)。

对\(k\)作归纳法。\(k=1\)时命题成立，设\(k-1\)时命题成立，考察\(k\)的情形，此时\(k\ge 2\)。

令\(A^{k-1}=(c_{ij})_{n\times n}\)，由归纳假设\(c_{il}\)是从\(v_i\)到\(v_l\)的长为\(k-1\)的路的数目，由\(v_i\)到\(v_j\)的任一长为\(k\)的路必为\(v_i\)到某\(v_l\)的长为\(k-1\)的路接上长为\(1\)的路\(\vec{v_lv_j}\)，以这样的方式经过\(v_l\)的长为\(k\)的路的数目为\(c_{il}a_{lj}\)。如从\(v_i\)到\(v_j\)无上述方式经过\(v_l\)的长为\(k\)的路，有两种可能：一种是无\(v_i\)到\(v_l\)的\(k-1\)长度的路，有\(c_{il}=0\)；另一种可能是没有边\(\vec{v_lv_j}\)，则\(a_{lj}=0\)。从\(v_i\)到\(v_j\)按上述方式经过这个\(v_l\)的长为\(k\)的路的数目为\(0\)，也等于\(c_{il}a_{lj}\)。由于\(v_l\)可任选\(v_1,v_2,\cdots,v_n\)，故\(v_i\)到\(v_j\)长为\(k\)的路的总数为\(\sum_{l=1}^n c_{il}a_{lj}=b_{ij}\)，归纳法完成。

现在可进一步计算出有向图中所有长为\(k\)的回路的数目。由上述命题可知，以任一点\(v_i\)为起、终点的长为\(k\)的路的数目为\(b_{ii}\)，故有向图中长为\(k\)的回路的数目为\(\sum_{i=1}^n b_{ii}=\operatorname{tr} A^k\)。

设有向图的邻接矩阵为\(A\)，它的\(n\)个特征值为\(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\)，可证明\(A^k\)的全部特征值为\(\lambda_1^k,\lambda_2^k,\cdots,\lambda_n^k\)，最后可以得到，有向图中长为\(k\)的回路的数目为

\[\operatorname{tr} A^k=\sum_{i=1}^n b_{ii}=\sum_{i=1}^n\lambda_i^k \]

对于例题开头的有向图的邻接矩阵\(A\)的特征多项式为

\[|\lambda E-A|= \begin{vmatrix} \lambda & -1 & 0\\ -1 & \lambda & -1\\ -1 & -1 & \lambda \end{vmatrix} =(\lambda+1)(\lambda^2-\lambda-1) \]

特征值为\(-1,\frac{1+\sqrt{5}}{2},\frac{1-\sqrt{5}}{2}\)，因此该有向图长为\(k\)的回路的数目为

\[(-1)^k+\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^k+\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^k \]