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快去尝试单尺作图内接正257边形吧

news 2026/6/13 16:13:45

首先我们来看关于单尺作图最基础的两个问题：

已知线段的中点，求做过定点平行于这条线段的直线；
已知一组平行线，求做其中一条线上的一条已知线段的中点。

首先先看如何已知中点做平行线（如下图，已知直线 $AB$ 和线段 $AB$ 上的中点 $C$，要求过直线外一点的 $D$ 作 $DE\parallel AB$）：

作线段 $AC$ 并延长至点 $E$。连接 $BE$，连接 $BC,DE$ 交于点 $F$。连接 $AF$，延长 $AF$ 交 $BE$ 与点 $G$，作直线 $CG$。直线 $CG$ 即为所求。

证明的话用赛瓦定理就显而易见了（后面的图可能大多用的是直线，见谅）。

然后再看如何已知平行线做中点（如下图，已知直线 $AB$ 与直线 $CD$，$AB\parallel CD$，求做 $AB$ 中点）：

跟上面类似。

作直线 $AC,BD$ 交于点 $E$，连接 $AD,BC$ 交于点 $F$,延长 $EF$ 交 $AB$ 于点 $G$。点 $G$ 即为所求。

已知圆及圆心且给定直径，求做给定定点的垂线。
已知线段中点，作三等分点。
已知两条不平行的线段的中点，求作任意一条线段的中点。
作未知圆心的圆过圆外一定点的切线。
求两个相交的未知圆心的圆的圆心。

前三个都比较简单，就说一下后两个。

如图所示：过点 $C$ 作与圆相交的直线 $DG,EF$，作直线 $DE,GF$ 交于点 $I$，作直线 $DF,EG$ 交于点 $H$。连接 $IH$ 交圆于点 $K,J$，作直线 $CK,CJ$。$CK,CJ$ 即为过点 $C$ 两条切线。

如图所示：在右边的圆选取一点 $C$，过点 $C$ 作与圆相交的直线 $BD,AE$。连接 $AD,BE$ 交于点 $F$，连接 $CF$。再在左边的圆选取一点 $C_1$，然后同上述操作。最终 $CF,C_1F_1$ 会交于点 $H$。可以证明：$AH,BH$ 为左边圆的切线。

同理可以作点 $G$ 使得 $AG,BG$ 为右边圆的切线。作直线 $GH$ 交左右两个圆从左到右分别于 $J_1,I_1,I_2,J_2$。过点 $B$ 作与圆相交的直线 $K_2J_1,P_1I_1,P_2I_2,K_1J_2$。连接 $P_1K_2,P_2K_1$ 分别交 $GH$ 于点 $O_1,O_2$。$O_1,O_2$ 即为所求。

接下来我们要将真的用于作圆内接正多边形的家伙了（已知圆心）。

由于圆的性质，显然我们可以随便作中点，平行线，垂直和角平分线。

我还是稍微说一下吧：由挑战 $3$ ，因为我们可以随便选两个直径，所以我们显然可以做线段的中点和平行线（这样子我们可以随便平移线）。我们将线通过平移挪到过圆心处，由挑战 $1$ 我们就可以作垂线了。将一个角挪到圆心处，连接两条射线与圆相交的点。做这条线段的中点然后连接圆心和中点并延长。所得的射线再平移回去就可以角平分线。

然后我们考虑圆内接正多边形的重点：

我们需要支持加减乘除和开平方线段（设圆的半径为单位 $1$）；
怎么画与一条线段相等的圆的弦？怎么将弦绕圈，最终画成圆内接正多边形？

我们先考虑第二个问题。

如图所示设线段 $MN$ 的长度为正多边形的长度。作平行四边形 $MNOB,MOBC$（上面已经说过可以作任意直线的平行线），作 $OB,OC$ 的中点 $D,E$，作 $DF\perp BC,EG\perp BC$ 交圆于点 $F,G$，连接 $FG$。易证 $FG=DE=MN$。

连接 $OG$，过点 $F$ 作 $FH\perp OG$。后面的同理。这样我们就把尾巴收好了。

该回到第一个问题了：如何支持线段加减乘除和开平方？

加减的话，先通过平移让他们有一个公共的端点（如图所示，要计算 $AB+BC$ 和 $AB-BC$），我们可以作 $\angle ABC$ 的平分线和 $\angle BCD$ 的平分线。然后过点 $C$ 分别作两条平分线的垂线交 $AD$ 于 $E,F$，则 $AE=AB-BC,AF=AB+BC$。

乘除的话，我们只看除（乘可以通过 $ab=\frac{a}{\frac{1}{b}}$ 解决），先给两条线段平移到同一直线且有公共端点，且将长度为 $1$ 的线段与这两条线段不平行地放到另一个端点（如图所示，$AB=a,AC=b,CD=1$）。连接 $AD$，作 $BE\parallel CD$ 交 $AD$ 于点 $E$，则 $BE=\frac{a}{b}$。