小人鱼的数学题 - Li

你这张图片显示的是一道平面解析几何题，题目主要内容如下：

在平面直角坐标系 $xOy$ 中，有一条直线 $y = kx - 3$（其中 $k \neq 0$）和抛物线 $y = -x^2$，它们相交于两点 $A$ 和 $B$，并且点 $A$ 在点 $B$ 的左侧。题目还提到点 $B$ 关于 $y$ 轴的对称点为 $B'$。

题目分为三个部分：

  1. 求交点坐标
    当 k = 2 时，求直线与抛物线的交点 A 和 B 的坐标。

    • 这一步通常需要把直线方程代入抛物线方程：

      2x - 3 = -x^2 \implies x^2 + 2x - 3 = 0

      然后解这个二次方程可以得到两个x 值，再求对应的 y值，得到交点的坐标。你在图片上写了A(-3, -9) 和 B(1, -1)，这符合计算。

  2. 面积相等问题
    连接 $O A$、$O B$、$A B'$ 和 $B B'$，题目要求 △$B'AB$ 的面积与 △$OAB$ 的面积相等，并求 $k$ 的值。

    • 这里需要先写出面积公式，可以用行列式法或者三角形面积公式：

      $$
      S = \frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)|
      $$

    • 代入对应的点 $O(0,0)$、$A(x_1, y_1)$、$B(x_2, y_2)$ 和 $B'(x_3, y_3)$，列出方程求 $k$。

  3. 直线 AB' 是否经过固定点
    探究直线 $AB'$ 是否经过某个固定点，如果是，则求该点坐标；如果不是，需要说明理由。

    • 分析思路：直线 $AB'$ 的斜率为 $\frac{y_B' - y_A}{x_B' - x_A}$，代入 $x_B' = -x_B$ 和对应的 $y$ 坐标，看是否能得到一个固定点（不随 $k$ 变化而变化的点）。

整道题的考点：

  • 二次函数与直线交点的求法
  • 对称点与几何变换
  • 三角形面积计算
  • 参数 $k$ 的讨论
  • 分析直线经过固定点的问题

如果你需要，我可以帮你把第 2 和第 3 小题的详细计算过程也列出来，附上公式和步骤。这样整题就完全讲解清楚了。

你希望我帮你做吗？
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